Question

3．地球同步衛星軌道半徑約為地球半徑的6.6倍，設月球密度與地球相同，試估算：繞月心在月球表面附近做圓周運動的探月探測器的運行周期約為多少小時？

Answer 1

分析 根據萬有引力提供向心力，表示出衛星運行的周期，根據地球同步衛星軌道半徑約為地球半徑的6.6倍求出地球表面附近做圓周運動的衛星運行周期．
根據萬有引力提供向心力，表示出中心體的質量，再根據月球密度與地球相同，求出繞月球表面附近做圓周運動的探月探測器的運行周期和地球表面附近做圓周運動的衛星運行周期的關系．

解答 解：根據萬有引力提供向心力，$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
解得：T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
地球同步衛星軌道半徑約為地球半徑的6.6倍，
所以地球表面附近做圓周運動的衛星運行周期與地球同步衛星的周期之比是：$\frac{{T}_{地表}}{{T}_{同}}$=$\sqrt{\frac{1}{6．{6}^{3}}}$
地球同步衛星的周期是24h．
解得：T_地表=1.4h
根據星球表面的衛星萬有引力提供向心力得，$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
則有M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
T為星球表面運行的衛星周期．
月球密度與地球相同，所以繞月球表面附近做圓周運動的探月探測器的運行周期和地球表面附近做圓周運動的衛星運行周期相同．
所以繞月球表面附近做圓周運動的探月探測器的運行周期約為1.4h．
答：月心在月球表面附近做圓周運動的探月探測器的運行周期約為1.4h．

點評 此題一定明確萬有引力提供向心力，會用周期表示向心力，還要知道球體的體積公式及密度公式，同時注意公式間的化簡．