Question

12．如圖所示，用一長為L的輕繩連接兩個質量均為m的物塊，用手緊握著繩的中點，并使兩物塊繞繩的中點O在豎直面內做圓周運動，O點離地面的高度為L，若運動過程中，某時刻A在最高點時，B恰好在最低點．且此時A、B做圓周運動的角速度相等．重力加速度為g．
（1）求此時手對繩的作用力大小與方向；
（2）若此時刻連接B的繩突然斷開，且斷開的一瞬間手拉A繩的作用力為2mg，則繩斷開后B物塊落地點離O點的水平距離是多少？

Answer 1

分析 （1）對A、B兩球分別根據向心力公式列式，拉力之差即手對繩的作用力；
（2）對A球根據向心力公式求出速度，繩斷后B球做平拋運動，根據平拋運動的規律求解

解答 解：（1）在A點的物塊，根據向心力公式有
$mg+{T}_{A}^{\;}=m{ω}_{\;}^{2}•\frac{L}{2}$①
在B點的物塊，根據向心力公式，有
${T}_{B}^{\;}-mg=m{ω}_{\;}^{2}•\frac{L}{2}$②
聯立①②$△T={T}_{B}^{\;}-{T}_{A}^{\;}=2mg$
此時手對繩的作用力大小2mg，方向豎直向上；
（2）斷開的瞬間，對A球$mg+{T}_{A}^{′}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{\frac{L}{2}}$
因為${T}_{A}^{′}=2mg$
解得$v=\sqrt{\frac{3}{2}gL}$
繩斷裂后做平拋運動，$\frac{L}{2}=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
得$t=\sqrt{\frac{L}{g}}$
B落地點與O的水平距離$x=vt=\sqrt{\frac{3gL}{2}}×\sqrt{\frac{L}{g}}=\frac{\sqrt{6}}{2}L$
答：（1）此時手對繩的作用力大小2mg與方向豎直向上；
（2）繩斷開后B物塊落地點離O點的水平距離是$\frac{\sqrt{6}}{2}L$

點評 本題綜合考查了平拋運動和圓周運動，關鍵掌握平拋運動的規律以及做做圓周運動向心力的來源，難度適中．