Question

2．近期，南海爭端升級，為提高警惕保衛祖國，我國海軍為此進行了登陸演練．如圖所示，假設一艘戰艦因噸位大吃水太深，只能停錨在離海岸登陸點s=lkm處．登陸隊員需要從較高的軍艦甲板上，利用繩索下滑到登陸快艇上再行登陸接近目標，若繩索兩端固定好后，與豎直方向的夾角θ=30°，為保證行動最快，隊員甲先利用溜索工具無摩擦自由加速滑到某最大速度，再靠摩擦勻減速滑至快艇，速度剛好為零，在隊員甲開始下滑時，隊員乙在甲板上同時開始向快艇以速度v₀=5m/s平拋救生圈（不計空氣阻力），第一個剛落到快艇，接著拋第二個，結果第二個救生圈剛好與甲隊員同時抵達快艇，若重力加速度g=10m/s²，問：
（1）軍艦甲板到快艇的豎直高度H及隊員甲在繩索上運動的時間t₀；
（2）若加速過程與減速過程中的加速度大小相等，則隊員甲在何處速度最大？最大速度是多大？
（3）若快艇與戰艦最初的距離相對快艇離岸距離可忽略，快艇的額定功率為5kW，載人后連同裝備總質量為l0³kg，從靜止開始以最大功率向登陸點加速靠近，到達岸邊時剛好能達到最大速度10m/s，快艇在水中受到的阻力恒定，求快艇運動的時間t'．

Answer 1

分析 （1）救生圈做平拋運動，由平拋運動的規律求出其運動時間和H，即可得到隊員甲在繩索上運動的時間t₀；
（2）由幾何關系可得繩索長度，根據運動的對稱性分析得出速度最大處，由位移與平均速度關系即可求解；
（3）由動能定理與達到最大速度時功率與阻力的關系，可聯合求得結果．

解答 解：設救生圈做平拋運動的時間為t，有
豎直方向上：H=$\frac{1}{2}$gt²
水平方向上：Htanθ=v₀t
設人下滑時間為t₀，由題意知：t₀=2t  
聯立以上各式代入數據解得：H=15m  t₀=2$\sqrt{3}$s
（2）由幾何關系得：繩索長：L=$\frac{H}{cos3{0}^{2}}$=10$\sqrt{3}$m
因加速過程與減速過程的加速度大小相等，所以，甲在繩索中點處速度最大，即：$\frac{1}{2}$v_mt×2=L
代入數據解得：v_m=$\frac{L}{t}$=10m/s
（3）加速過程由動能定理可得：Pt′-F_fs=$\frac{1}{2}$M${v}_{m}^{′2}$
加速到勻速時有：${v}_{m}^{′}$=$\frac{P}{{F}_{f}}$
聯立代入數據解得：t′=1.1×10²s．
答：（1）軍艦甲板到快艇的豎直高度H及隊員甲在繩索上運動的時間為2$\sqrt{3}$s；
（2）隊員甲在繩索中點處速度最大，最大速度是10m/s；
（3）快艇運動的時間為1.1×10²s．

點評 本題考查如何處理平拋運動的常規方法，并涉及到動能定理的理解．注意甲在何處速度達到最大是本題的關鍵之處．