Question

（15分）1951年，物理學家發現了“電子偶素”，所謂“電子偶素”，就是由一個負電子和一個正電子繞它們的質量中心旋轉形成的相對穩定的系統．已知正、負電子的質量均為m_e，普朗克常量為h，靜電力常量為k．

（1）若正、負電子是由一個光子和核場相互作用產生的，且相互作用過程中核場不提供能量，則此光子的頻率必須大于某個臨界值，此臨界值為多大?

（2）假設“電子偶數”中正、負電子繞它們質量中心做勻速圓周運動的軌道半徑r、運動速度v及電子的質量滿足玻爾的軌道量子化理論：2m_evr＝n（h/2π），n＝1，2……“電子偶素”的能量為正負電子運動的動能和系統的電勢能之和，已知兩正負電子相距為L時系統的電勢能為E＝－k（e²/L），試求n＝１時“電子偶素”的能量。

（3）“電子偶素”由第一激發態躍遷到基態發出光子的波長為多大?

Answer 1

（15分）解：（1）設光子頻率的臨界值為ν₀，則有

　　　ｈν₀＝２ｍ_ｅｃ²，　ν₀＝（２ｍ_ｅｃ²）/ｈ．　　　　　①

（2）由于正、負電子質量相等，故兩電子的軌道半徑相等，設為ｒ，則正負電子間距為２ｒ，速度均為ｖ，則有

　　　　（ｋｅ²）/（4ｒ²）＝ｍ_ｅ（ν²/ｒ），　　　　　　　②

依題意，有　　　2ｍ_ｅｖｒ＝ｎｈ/（2π），　　　　　　　　　③

而電子偶數能量

　　Ｅ_n＝２×（１/２）ｍ_ｅｖ²－（ｋｅ²）/（２ｒ），　　　　④

由②③④式聯立得

　　Ｅ_n＝－（ｍ_ｅｋ²π²ｅ⁴）/（ｈ²ｎ²），ｎ＝１，２……　　　　⑤

取ｎ＝１可得電子偶數基態能量為

　　　　Ｅ₁＝－（ｍ_ｅｋ²π²ｅ⁴）/（ｈ²）．

（3）由⑤式可得電子偶數處于第一激發態時的能量為Ｅ₂＝（１/４）Ｅ₁，即ｎ＝２，與Ｅ_n＝Ｅ₁/ｎ²相同．設電子偶數從第一激發態躍遷到基態時發出光子的波長為λ，則

　　　　Ｅ₂－Ｅ₁＝ｈｃ/λ，

由由以上各式解得　　　λ＝（４ｈ³ｃ）/（３ｍ_ｅｋ²π²ｅ⁴）．