Question

20．一長為L的水平傳送帶沿逆時針方向轉動，其轉動速度v滿足$\sqrt{\frac{gL}{4}}$≤v≤2$\sqrt{gL}$，傳送帶的最右端與一摩擦可忽略不計的水平導軌相切，在水平導軌的某位置有一豎直的擋板，如圖所示．現有一可以視為質點的質量為m的物塊以水平向右的初速度v₀=$\sqrt{2gL}$從傳送帶的最左端沖上傳送帶，物塊經過一段時間滑上水平導軌與豎直擋板發生碰撞，碰后物塊的速度反向、大小變為碰前的$\frac{1}{2}$．已知物塊與傳送帶之間的動摩擦因數為μ=0.5，重力加速度為g．求：
（1）物塊與擋板碰撞時的速度大小．
（2）物塊與擋板碰撞后的運動過程中，物塊對傳送帶的相對位移△x大小．

Answer 1

分析 （1）與擋板碰撞時的速度就是物塊離開傳送帶時的速度，先要知道物塊在傳送帶上的運動狀態，根據它的運動狀態用運動學公式，對離開傳送帶時的速度求解；
（2）物塊與擋板碰撞后的運動過程中，物塊對傳送帶的相對位移△x大小與傳送帶的速度有關，由于傳送帶的速度是一個范圍值，所以解出來的相對位移應該也是一個范圍；要討論在傳送帶上的運動狀態，然后根據運動學公式來求相對位移．

解答 解：（1）設物塊以v₀在帶上做勻減速運動直到停止的位移為x，則${v}_{0}^{2}$=2ax…①
由ma=μmg…②
聯立①②得x=2L＞L，故物塊一直在傳送帶上做勻減速運動直到離開傳送帶，
設離開傳送帶時的速度為v₁，即物塊與擋板碰撞時的速度，
則${v}_{1}^{2}-{v}_{0}^{2}$=2aL…③
聯立②③得v₁=$\sqrt{gL}$
（2）I、當v=$\frac{{v}_{1}}{2}$=$\frac{\sqrt{gL}}{2}$時，物塊相對于傳送帶靜止，△x=0…④
Ⅱ、當$\frac{\sqrt{gL}}{4}$$≤v＜\frac{\sqrt{gL}}{2}$時，物塊在傳送帶上減速，設減速到傳送帶左端的速度為v′，則（$\frac{{v}_{1}}{2}$）²-v′²=2aL…⑤
得v′²＜0，故不成立，應該是減速到與傳送帶共速后勻速直線運動，
設經過t與傳送帶共速，則$\frac{{v}_{1}}{2}$-v=at…⑥
此時的位移△x=$\frac{\frac{{v}_{1}}{2}+v}{2}-vt$…⑦
聯立②⑥⑦解得，0＜△x≤$\frac{L}{16}$．
Ⅲ、當v＞$\frac{\sqrt{gL}}{2}$時，物塊在傳送帶上加速，若一直加速，設物塊運動到傳送帶左端的速度為v″，
則v″²-（$\frac{{v}_{1}}{2}$）²=2aL…⑧
解得v″=$\frac{\sqrt{5gL}}{2}$
若$\frac{\sqrt{5gL}}{2}$$≤v≤2\sqrt{gL}$，物塊一直加速，則v″-$\frac{{v}_{1}}{2}$=at′…⑨
此時相對位移△x=vt′-L…⑩
聯立②⑨⑩解得，$\frac{3-\sqrt{5}}{2}L≤△x≤（2\sqrt{5}-3）L$
若$\frac{\sqrt{gL}}{2}$$＜v＜\frac{\sqrt{5gL}}{2}$，則物塊加速到與傳送帶共速后勻速，
則v-$\frac{{v}_{1}}{2}$=at″…⑪
△x=vt″-$\frac{v+\frac{{v}_{1}}{2}}{2}$t″…⑫
聯立②⑪⑫解得，0$＜△x＜\frac{3-\sqrt{5}}{2}L$
答：（1）物塊與擋板碰撞時的速度大小為$\sqrt{gL}$，
（2）物塊與擋板碰撞后的運動過程中，當傳送速度v=$\frac{{v}_{1}}{2}$=$\frac{\sqrt{gL}}{2}$時，物塊相對于傳送帶靜止，△x=0；
當$\frac{\sqrt{gL}}{4}$$≤v＜\frac{\sqrt{gL}}{2}$時，0＜△x≤$\frac{L}{16}$；
當v＞$\frac{\sqrt{gL}}{2}$時，$0＜△x≤（2\sqrt{5}-3）L$．

點評 本題考查牛頓第二定律運用和物體運動狀態的討論，通過對運動狀態的分析利用運動學公式解題，做題的過程中一定要思路清晰，知道要分哪幾種情況討論是解題的關鍵．