Question

15．如圖所示，有一對平行金屬板，板間加有恒定電壓；兩板間有勻強磁場，磁感應強度大小為B₀，方向垂直于紙面向里．金屬板右下方以MN、PQ為上、下邊界，MP為左邊界的區域內，存在垂直紙面向外的勻強磁場，磁場寬度為d，MN與下極板等高，MP與金屬板右端在同一豎直線上．一電荷量為q、質量為m的正離子，以初速度v₀沿平行于金屬板面、垂直于板間磁場的方向從A點射入金屬板間，不計離子的重力．
（1）已知離子恰好做勻速直線運動，求金屬板間電場強度的大小；
（2）若撤去板間磁場B₀，已知離子恰好從下極板的右側邊緣射出電場，方向與水平方向成30°角，求A點離下極板的高度；
（3）在（2）的情形中，為了使離子進入磁場運動后從邊界MP的P點射出，磁場的磁感應強度B應為多大？

Answer 1

分析 （1）離子做勻速直線運動時，電場力和洛侖茲力二力平衡，根據平衡條件列式，即可求解電場強度的大小，由左手定則判斷出洛茲力的方向，即可確定電場強度的方向；
（2）撤去板間磁場B₀，離子在電場中做類平拋運動，平行于極板做勻速直線運動，垂直于極板做初速度為零的勻加速直線運動，根據速度的分解求出離子從M點射出電場時的速度，由動能定理求解A點離下極板的高度；
（3）根據題意畫出離子的運動軌跡，根據幾何知識求出軌跡半徑，再由洛倫茲力提供向心力，列式求解B．

解答 解：（1）設板間的電場強度為E，離子做勻速直線運動，受到的電場力和洛侖茲力平衡有：
qE=qv₀B₀
解得：E=v₀B₀ ①
由左手定則可判斷出洛侖茲力方向豎直向上，所以電場力的方向豎直向下，故場強的方向豎直向下．
（2）設A點離下極板的高度為h，離子射出電場時的速度為v，根據動能定理得：
$qEh=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}mv_0^2$②
離子在電場中做類平拋運動，水平分方向做勻速直線運動，則有 v=$\frac{v_0}{cos30°}$③
聯立①②③解得：h=$\frac{mv_0^2}{{6q{v_0}{B_0}}}$=$\frac{{m{v_0}}}{{6q{B_0}}}$④
（3）設離子進入磁場后做勻速圓周運動的半徑為r，由幾何關系得：r=$\frac{{\frac{1}{2}d}}{sin60°}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}d$ ⑤
根據牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{v^2}{r}$⑥
聯立③⑤⑥解得：$B=\frac{{2m{v_0}}}{qd}$；
答：（1）金屬板間電場強度的大小為v₀B₀，方向豎直向下；
（2）A點離下極板的高度為$\frac{{m{v_0}}}{{6q{B_0}}}$；
（3）磁場的磁感應強度B應為$\frac{{2m{v_0}}}{qd}$．

點評 本題是粒子速度選擇器、電場偏轉和磁場偏轉的綜合，關鍵要掌握類平拋運動的處理方法：運動的分解法，并能運用動能定理求解h．
磁場中勻速圓周運動問題，關鍵要正確畫出離子的運動軌跡，運用幾何知識求解半徑．