Question

5．如圖，在豎直平面內建立直角坐標系，ox方向為水平方向，由A點斜射出一物體，不計空氣阻力，B和C是物體運動軌跡上的兩點，D點是軌跡和y軸的交點，其中l₀為常數，重力加速度為g，下列說法正確的是（　　）

• A． 從A點到D點與從D點到B所用的時間相同
• B． 從A點到C點所用的時間3$\sqrt{\frac{2{l}_{0}}{g}}$
• C． 到D點的速率$\sqrt{g{l}_{0}}$
• D． 到C點的速率$\sqrt{\frac{15g{l}_{0}}{2}}$

Answer 1

分析 AB、根據數學知識求出拋物線方程，再得到最高點的坐標，從最高點到C做平拋運動，由平拋運動的規律求時間．
CD、由平拋運動的規律求出最高點的速度，再由機械能守恒求出質點經過C點時的速率．

解答 解：A、物體做斜拋運動，依據運動的合成與分解，可得，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做豎直上拋運動，因此從A點到D點與從D點到B所用的時間相同，故A正確；
B、設拋物線方程為 y=ax²+c
當y=0時x=l₀，代入上式得：0=al₀²+c…①
當x=2l₀時y=-3l₀，代入上式得：-3l₀=4al₀²+c…②
由①②解得 a=-$\frac{1}{{l}_{0}}$，c=l₀．
故y=-$\frac{1}{{l}_{0}}$x²+l₀
當x=0時，y=l₀
所以最高點離x軸的高度為 h=l₀
從最高點到C做平拋運動，則從最高點到B點有 h=$\frac{1}{2}$g${t}_{1}^{2}$，
t₁=$\sqrt{\frac{2{l}_{0}}{g}}$
從最高點到C點有 4l₀=$\frac{1}{2}$g${t}_{2}^{2}$，
得 t₂=2$\sqrt{\frac{2{l}_{0}}{g}}$
故質點從A到C過程所經歷的時間 t=t₁+t₂=3$\sqrt{\frac{2{l}_{0}}{g}}$，故B正確；
CD、設質點通過最高D點的速率為v．則 v=$\frac{{l}_{0}}{{t}_{1}}$=$\sqrt{\frac{g{l}_{0}}{2}}$
從最高點到C點，由機械能守恒定律得
  mg•4l₀=$\frac{1}{2}$m${v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}$ mv²；
解得 v_C=$\sqrt{\frac{17g{l}_{0}}{2}}$，故CD錯誤；
故選：AB．

點評 解決本題的關鍵要掌握關于y軸對稱的拋物線的方程一般式y=ax²+c，運用數學知識得到拋物線方程，再由運動的分解法研究拋體運動．