Question

17．如圖，一個質量m=0.6kg的小球以某一初速度從P點水平拋出，恰好從圓弧ABC的A點的切線方向進入圓弧（不計空氣阻力，進入圓弧時無能量損失）．已知圓弧的半徑R=0.3m，θ=60°，小球到達A點時的速度v_A=4m/s．（取g=10m/s²）．求：
（1）小球做平拋運動的初速度v₀；
（2）P點與A點的水平距離和豎直高度；
（3）若小球到達B點的速度是$\sqrt{19}$m/s，則小球經過B點和C點時對軌道的壓力差是多少．（空氣阻力忽略不計，g=10m/s²）

Answer 1

分析 （1）恰好從光滑圓弧ABC的A點的切線方向進入圓弧，說明到到A點的速度v_A方向與水平方向的夾角為θ，這樣可以求出初速度v₀；
（2）平拋運動水平方向做勻速直線運動，豎直方向做自由落體運動，根據平拋運動的基本規律求出P點與A點的水平距離和豎直距離；
（3）從B到C根據動能定理求出C點速度，在C點和B點，重力和彈力的合力提供向心力，根據向心力公式和牛頓第二定律列式求出小球在最高點C和B點時對軌道的壓力，從而求出壓力差．

解答 解：（1）小球恰好從圓弧ABC的A點的切線方向進入圓弧，根據幾何關系可知，
v₀=v_x=v_Acosθ=4×cos60°=2m/s 
（2）根據平拋運動的分運動公式，有：${v}_{y}={v}_{A}sinθ=4×sin60°=2\sqrt{3}m/s$，
由平拋運動規律得：${{v}_{y}}^{2}=2gh$
v_y=gt
x=v₀t
代入數據解得h=0.6m，x=$0.4\sqrt{3}m≈0.69m$．
（3）在B點，由圓周運動向心力公式得：
${N}_{B}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$
代入數據得：
N_B=44N
由牛頓第三定律得：小球對軌道的壓力大小N_B′=N_B=44N，
從B到C根據動能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=-mg•2R$
解得：${v}_{C}=\sqrt{7}m/s$
在C點，由圓周運動向心力公式得：
${N}_{C}+mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$
解得：N_C=8N，
由牛頓第三定律得：小球對軌道的壓力大小：N_C′=N_C=8N，
則小球經過B點和C點時對軌道的壓力差是△N=N_B′-N_C′=44-8=36N．
答：（1）小球做平拋運動的初速度v₀為2m/s；
（2）P點與A點的水平距離為0.69m，豎直高度為0.6m；
（3）小球經過B點和C點時對軌道的壓力差是36N．

點評 本題是平拋運動和圓周運動相結合的典型題目，除了運用平拋運動和圓周運動的基本公式外；本題第三問中C點速度可以利用動能定理求解出來．