Question

3．如圖，一對平行金屬板水平放置，板間距為d，上極板始終接地．長度為$\fracp9vv5xb5{2}$、質量均勻的絕緣桿，上端可繞上板中央的固定軸O在豎直平面內轉動，下端固定一帶正電的輕質小球，其電荷量為q．當兩板間電壓為U₁時，桿靜止在與豎直方向OO′夾角θ=30°的位置；若兩金屬板在豎直平面內同時繞O、O′順時針旋轉α=15⁰至圖中虛線位置時，為使桿仍在原位置靜止，需改變兩板間電壓．假定兩板間始終為勻強電場．求：
（1）絕緣桿所受的重力G；
（2）兩板旋轉后板間電壓U₂．
（3）求前后兩種情況中帶電小球的電勢能W₁與W₂．

Answer 1

分析 （1）桿靜止時力矩平衡，根據重力力矩與電場力矩相平衡，即可求解；
（2）轉動后，再次使用重力力矩與電場力矩相平衡，即可求解；
（3）根據電場強度變化，導致零電勢能面變化，則小球的電勢能也改變，再根據W=qU，即可求解．

解答 解：（1）設桿長為L，桿受到的重力矩與球受到的電場力矩平衡，則有
G$\frac{L}{2}$sin30°=q$\frac{{U}_{1}}p9vv5xb5$Lsin30°
解得：G=$\frac{2q{U}_{1}}p9vv5xb5$
（2）金屬板轉過α角后，有：E=$\frac{{U}_{2}}{dcos15°}$
同樣滿足力矩平衡，有：G$\frac{L}{2}$sin30°=$\frac{q{U}_{2}}{dcos15°}$Lsin45°
聯立解得：U₂=$\frac{sin30°cos15°}{sin45°}$U₁=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$U₁．
（3）金屬板轉動前：U₁′=$\frac{Lcos30°}p9vv5xb5{U}_{1}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}{U}_{1}$
帶電小球的電勢能為：W₁=qU₁′=$\frac{\sqrt{3}}{4}$qU₁．
金屬板轉動后有：U₂′=$\frac{Lcos45°}{dcos15°}$U₂=$\frac{1}{4}$U₁
帶電小球的電勢能為：W₂=qU₂′=$\frac{1}{4}$qU₁．
答：（1）絕緣桿所受的重力G是$\frac{2q{U}_{1}}p9vv5xb5$；
（2）兩板旋轉后板間電壓U₂是$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$U₁．
（3）前后兩種情況中帶電小球的電勢能W₁與W₂分別為$\frac{\sqrt{3}}{4}$qU₁和$\frac{1}{4}$qU₁．

點評 本題考查了力矩平衡的應用，關鍵要掌握電勢能與零電勢能面的關系，理解電場力做功表達式W=qU，要注意板間距離的變化．