Question

2．如圖甲，半圓弧ABC與四分之一圓弧DE是同一豎直平面內的兩個半徑相同的光滑軌道，其最高點E與最低點B各安裝了一個壓力傳感器；CD連線與兩軌道相切且豎直，間距為x．若在A點正上方的O點將一小球由靜止釋放，小球下落h后從A點切入軌道并從E點離開軌道．現改變CD間的距離，測得小球通過B、E兩點的壓力差△F_N與距離x的關系如圖乙所示，不計空氣阻力，取g=10m/s²，求：光滑軌道的半徑R．

Answer 1

分析 應用動能定理求出B、E兩點的速度關系，由牛頓第二定律求出小球在B、E點對軌道的壓力差，然后根據圖示圖象求出軌道半徑．

解答 解：從B到E過程，由動能定理得：-mg（2R+x）=$\frac{1}{2}$mv_E²-$\frac{1}{2}$mv_B²，
小球在圓弧軌道做圓周運動，由牛頓第二定律得：
在B點：F_B-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
在E點：F_E+mg=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$，
在兩點的壓力差：△F_N=F_B′-F_E′=F_B-F_E，
解得：△F_N=6mg+$\frac{2mg}{R}$x，
由圖示：△F_N-x圖象可知，
截距：b=6mg=6，解得：m=0.1kg，
斜率：k=$\frac{2mg}{R}$=$\frac{12-6}{6}$=1，軌道半徑：R=2mg=2m；
答：光滑軌道的半徑R為2m．

點評 本題是一道力學綜合題，分析清楚小球的運動過程、求出圖象的函數表達式是解題的關鍵，應用動能定理與牛頓第二定律可以解題．