Question

8．已知地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R₀，地球自轉的角速度為ω₀．一顆在赤道上空運行的人造衛星，其距離地面高度為2R₀，衛星的運轉方向與地球的自轉方向相同． 
（1）求該衛星運行的角速度；
（2）若某時刻該衛星通過赤道上某建筑物的正上方，求它至少經過多長時間再次通過該建筑物的正上方？

Answer 1

分析 人造地球衛星繞地球做勻速圓周運動，由地球的萬有引力提供向心力，根據牛頓運動定律求解衛星的角速度．
衛星繞地球做勻速圓周運動，建筑物隨地球自轉做勻速圓周運動，當衛星轉過的角度與建筑物轉過的角度之差等于2π時，衛星再次出現在建筑物上空．

解答 解：（1）繞地球運行的衛星，地球對衛星的萬有引力提供向心力，設衛星的角速度為ω，$G\frac{Mm}{（3{R}_{0}^{\;}）_{\;}^{2}}=m{ω}_{\;}^{2}（3{R}_{0}^{\;}）$      且  $G\frac{Mm}{{R}_{0}^{2}}=mg$
解得：$ω=\sqrt{\frac{g}{27{R}_{0}^{\;}}}$
（2）設經過時間t衛星再次通過建筑物上方，根據幾何關系有：
（ω-ω₀）t=2π        
聯立解得：$t=\frac{2π}{\sqrt{\frac{g}{27{R}_{0}^{\;}}}-{ω}_{0}^{\;}}$
答：（1）該衛星運行的角速度$\sqrt{\frac{g}{27{R}_{0}^{\;}}}$；
（2）若某時刻該衛星通過赤道上某建筑物的正上方，它至少經過$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g}{27{R}_{0}^{\;}}}-{ω}_{0}^{\;}}$時間再次通過該建筑物的正上方

點評 本題考查萬有引力定律和圓周運動知識的綜合應用能力．第（2）問對于建筑物與衛星的角速度大小關系不能，可將衛星與同步衛星相比較得到．