Question

18．物理學家在微觀領域中發現了“電子偶數”這一現象．所謂“電子偶數”就是由一個負電子和一個正電子繞它們的質量中心旋轉形成的相對穩定的系統．已知正、負電子的質量均為m_e，電量大小均為e，普朗克恒量為h，靜電力常量為k．假設“電子偶數”中正、負電子繞它們質量中心做勻速圓周運動的軌道半徑r、運動速度v及電子的質量滿足量子化理論：2m_ev_nr_n=$\frac{nh}{2π}$，n=1，2，3…，當n=1時電子旋轉的速率大小為$\frac{πk{e}^{2}}{h}$．“電子偶數”的能量為正負電子運動的動能和系統的電勢能之和，已知兩正負電子相距為L時的電勢能為E_p=-k$\frac{{e}^{2}}{L}$，則n=1時“電子偶數”的能量為-$\frac{{π}^{2}{m}_{e}{k}^{2}{e}^{4}}{{h}^{2}}$．

Answer 1

分析 由正負電子的庫侖力提供向心力，從而即可求解．
由題意可知，系統的電勢能，及電子的動能，可求得n=1時，“電子偶素”的能量．

解答 解：設n=1時電子運轉軌道半徑為r₁，
此時正負電子間庫侖力F=k$\frac{{e}^{2}}{4{r}_{1}^{2}}$
此庫侖作為向心力F=m_e$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
由題中量子化理論可知，n=1時 2m_ev₁r₁=$\frac{h}{2π}$
聯立上式可得v₁=$\frac{πk{e}^{2}}{h}$
由題意可知，系統的電勢能E_P=-k$\frac{{e}^{2}}{2{r}_{1}}$
每個電子動能E_K=$\frac{1}{2}$m_e ${v}_{1}^{2}$
系統的能量E=2E_K+E_P
聯立可得E₁=-$\frac{{π}^{2}{m}_{e}{k}^{2}{e}^{4}}{{h}^{2}}$
故答案為：$\frac{πk{e}^{2}}{h}$；-$\frac{{π}^{2}{m}_{e}{k}^{2}{e}^{4}}{{h}^{2}}$．

點評 考查電子受到的電場力作用為向心力做勻速圓周運動，掌握牛頓第二定律的應用，知道系統的能量是動能與電勢能之和．