Question

2．小王同學學完電磁感應后，用電流表自制了一臺發電機．他將電流表中指針、螺旋彈簧、表盤取下，保留磁鐵、兩磁極間的軟鐵、鐵質圓柱、線圈、轉軸，另用引線和電刷將線圈與兩接線柱連接，如圖（甲）所示．軟鐵與鐵質圓柱間的磁場都沿半徑方向，同一圓周上各點磁感應強度大小相等，無磁場區的角度為60°，線圈AB、CD邊在磁場中磁感應強度大小為B，如圖（乙）所示．線圈的ab邊長為L₁，bc邊長為L₂，匝數為n，線圈的電阻為r，外接一個額定功率為P的小燈泡（阻值恒為R），其余電阻不計，線圈abcd在磁場中繞轉軸OO′逆時針方向勻速轉動，轉動的角速度為ω，如圖（丙）所示．問：

（1）線圈處于圖（乙）位置時，電路中感應電流的大小；
（2）經過計算從圖（乙）所示位置開始計時，畫出一個周期內通過的電流隨時間變化圖象（規定abcda方向為電流正方向，要求坐標軸上標明時間、電流值）；
（3）若這臺發電機將機械能轉化為電能的效率為η，則線圈轉動一圈小王對發電機做了多少功？

Answer 1

分析 （1）根據法拉第電磁感應定律求感應電動勢，由閉合電路歐姆定律求出電流
（2）在線圈轉動一周過程中，求出各個過程的電流大小和方向，再畫出圖象
（3）根據能量守恒求出線圈轉動一圈小王對發電機做功

解答 解：（1）ab、cd切割磁感線的速度為：$v=\frac{1}{2}{L}_{2}^{\;}ω$
線圈中產生的感應電動勢為：$E=2nB{L}_{1}^{\;}v$
感應電流的大小為：$I=\frac{E}{R+r}$
解得：$I=\frac{nB{L}_{1}^{\;}{L}_{2}^{\;}ω}{R+r}$
（2）在線圈轉動一周過程中，
0°-60°過程中有電流，大小為$I=\frac{nB{L}_{1}^{\;}{L}_{2}^{\;}ω}{R+r}$，方向為負；
60°-120°過程中沒有電流；
120°-240°過程中有電流，大小為$I=\frac{nB{L}_{1}^{\;}{L}_{2}^{\;}ω}{R+r}$，方向為正；
240°-300°過程中沒有電流；
300°-360°過程中有電流，大小為$I=\frac{nB{L}_{1}^{\;}{L}_{2}^{\;}ω}{R+r}$，方向為負．
畫出一個周期內通過R的電流隨時間變化圖象如圖1所示

（3）設小王對發電機所做的功為${W}_{1}^{\;}$，電路中消耗的電功為${W}_{2}^{\;}$，根據題意，有
${W}_{2}^{\;}$=η${W}_{1}^{\;}$
${W}_{2}^{\;}=EI×\frac{2T}{3}$
$T=\frac{2π}{ω}$
解得：${W}_{1}^{\;}=\frac{4π{n}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}{L}_{1}^{2}{L}_{2}^{2}ω}{3（R+r）η}$
答：（1）線圈處于圖（乙）位置時，電路中感應電流的大小$\frac{nB{L}_{1}^{\;}{L}_{2}^{\;}ω}{R+r}$；
（2）經過計算從圖（乙）所示位置開始計時，畫出一個周期內通過的電流隨時間變化圖象如圖所示；
（3）若這臺發電機將機械能轉化為電能的效率為η，則線圈轉動一圈小王對發電機做功$\frac{4π{n}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}{L}_{1}^{2}{L}_{2}^{2}ω}{3（R+r）η}$

點評 本題考查了線圈轉動過程中切割磁感線產生感應電動勢的問題，結合比閉合電路的歐姆定律求解感應電流，感應電流的方向由右手定則或楞次定律判斷．