Question

14．設想宇航員為探測火星，在登陸前首先乘宇宙飛船在火星表面附近繞火星勻速圓周運動一圈，測出繞行時間為T；登陸后又用彈簧稱測量質量為m的物體的重力，靜止時彈簧稱示數為F，已知引力常量為G；由此推算火星的平均密度ρ和火星的質量M．

Answer 1

分析 宇宙飛船繞火星做圓周運動，萬有引力提供向心力，物體在火星表面受到的重力等于萬有引力，應用萬有引力公式、牛頓第二定律可以求出火星的質量，然后求出其密度．

解答 解：宇宙飛船繞火星做圓周運動，萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，
火星的密度：ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$，
解得：ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$；
在火星表面物體受到的重力：F=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，
解得，火星質量：M=$\frac{{T}^{4}{F}^{3}}{16G{π}^{4}{m}^{3}}$；
答：火星的平均密度ρ為$\frac{3π}{G{T}^{2}}$，火星的質量M為$\frac{{T}^{4}{F}^{3}}{16G{π}^{4}{m}^{3}}$．

點評 本題考查了求火星的質量、火星的密度，考查了萬有引力定律的應用，知道萬有引力提供向心力、萬有引力等于重力是解題的關鍵，應用萬有引力公式與牛頓第二定律可以解題．