Question

19．如圖所示，質量為m的小球套在半徑為R的圓形光滑軌道上運動，圓形軌道位于豎直平面內．已知小球在最高點的速率v₀=$\sqrt{\frac{4gR}{5}}$（g為重力加速度，則（　　）

• A． 小球的最大速率為$\sqrt{6}$v₀
• B． 在最高點處，軌道對小球作用力的大小為$\frac{4mg}{5}$
• C． 在任一直徑的兩端點上，小球動能之和不變
• D． 小球在與圓心等高的A點，向心加速度大小為$\frac{14g}{5}$

Answer 1

分析 小球到達最低點時速率最大，由機械能守恒定律求出最大速率．在最高點，由牛頓第二定律和向心力知識結合求軌道對小球作用力的大小．根據機械能守恒定律分析小球的動能．由機械能守恒定律和向心力結合求向心加速度．

解答 解：A、小球到達最低點時速率最大，設最大速率為v．根據機械能守恒定律得：
  2mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
又 v₀=$\sqrt{\frac{4gR}{5}}$，解得：v=$\sqrt{6}$v₀．故A正確．
B、在最高點處，設軌道對小球的作用力大小為F，方向豎直向上．則由牛頓第二定律得：
mg-F=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，
解得：F=$\frac{1}{5}$mg，方向豎直向上．故B錯誤．
C、以最低點為參考點，整個過程中小球的機械能守恒，在任一直徑兩端上的點，它們的高度之和都是2R，即它們的重力勢能之和相等，由于總的機械能守恒，所以它們的動能之和也相等，故C正確．
D、小球從最高點到A點，由機械能守恒定律得：mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
小球在A點的向心加速度大小 a=$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$，聯立解得 a=$\frac{14g}{5}$，故D正確．
故選：ACD

點評 小球穿在圓環軌道上做圓周運動，屬于桿的模型，在最高點時速度最小，向心力最小，最低點時速度最大，向心力最大，由機械能守恒可以求它們之間的關系