Question

4．如圖所示，一輕繩繞過無摩擦的兩個輕質小定滑輪O₁、O₂和質量m_B=m的小球連接，另一端與套在光滑直桿上質量m_A=m的小物塊連接，已知直桿兩端固定，與兩定滑輪在同一豎直平面內，與水平面的夾角θ=60°，直桿上C點與兩定滑輪均在同一高度，C點到定滑輪O₁的距離為L，重力加速度為g，設直桿足夠長，小球運動過程中不會與其他物體相碰．現將小物塊從C點由靜止釋放，試求：
（1）小球下降的最大距離H；
（2）當小球下降到最低點時，小物塊的速度大小v；
（3）小物塊能下滑的最大距離S_m．

Answer 1

分析 （1）當系小物塊的繩子與桿垂直時，小球下降到最低點，由幾何知識求小球下降的最大距離H；
（2）在運動的過程中，對A、B兩物體組成的系統，只有重力做功，系統機械能守恒，當小球下降到最低點時速度為0，由系統的機械能守恒求小物塊的速度大小v；
（3）當小物塊下滑到最大距離時，速度為0，根據A物體的機械能的減小量等于B物體機械能的增加量，求出下滑的最大距離S_m．

解答 解：（1）當系小物塊的繩子與桿垂直時，小球下降到最低點，由幾何知識得小球下降的最大距離為：
H=L-Lsinθ=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$L
（2）當小球下降到最低點時速度為0，由系統的機械能守恒得：
m_AgL•cosθ•sinθ+m_BgH=$\frac{1}{2}{m}_{A}{v}^{2}$
又  m_A=m_B=m
聯立解得：v=$\frac{1}{2}\sqrt{（4-\sqrt{3}）gL}$
（3）設小物塊能下滑的最大距離為S_m，由系統的機械能守恒有：
m_AgS_msinθ=m_Bgh_B增
而 h_B增=$\sqrt{（{S}_{m}-Lcosθ）^{2}+（Lsinθ）^{2}}$-L
代入解得：S_m=4（1+$\sqrt{3}$）L
答：（1）小球下降的最大距離H是$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$L；
（2）當小球下降到最低點時，小物塊的速度大小v是$\frac{1}{2}\sqrt{（4-\sqrt{3}）gL}$；
（3）小物塊能下滑的最大距離S_m是4（1+$\sqrt{3}$）L．

點評 解決本題的關鍵知道A、B組成的系統，只有重力做功，機械能守恒．對于單個物體，有拉力做功，機械能不守恒，要靈活運用幾何知識求物體下降的高度．