Question

8．如圖所示，質量為m_A=2kg的平板車A靜止在水平地面上，車長d=37.5m．物塊B靜止在平板車左端，在物塊B正前方某處．有一小球C，球C通過長l=0.32m的細繩與固定點O相連，球C恰好與物塊B等高，且C始終不與平板車A接觸．在t=0時刻，平板車A突然獲得水平初速度v₀開始向左運動，后來某一時刻物塊B與球C發生彈性碰撞，碰后球C恰好能繞O點在豎直平面內作圓周運動．若B、C可視為質點，m_B=m_C=1kg，物塊B與平板車A、平板車A與地面之間的動摩擦因數均為?=0.2，g取10m/s²，求：
（1）B、C碰撞瞬間，細繩拉力的大小？
（2）B、C碰撞前瞬間物塊B的速度大小？
（3）若B、C碰撞時，物塊B在平板車的中間位置，且t₀=1.5s時平板車A的速度變為v₁=5m/s，則物塊B是在加速階段還是減速階段與球C相碰撞？小車的初速度v₀多大？

Answer 1

分析 （1）C在最高點是重力和繩子的拉力提供向心力，求得它通過最高點的速度；上升的過程中機械能守恒，得最低點的速度；在最低點，拉力好重力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求得繩子的拉力；
（2）BC碰撞過程中動量守恒，能量守恒，求得碰撞前物塊B的速度．
（3）根據B、C碰撞時，物塊B在平板車的中間位置確定A與B的相對位移，根據且t₀=1.5s時平板車A的速度變為v₁=5m/s，使用動量守恒確定B的速度，然后使用牛頓第二定律，分別設出并計算出A與B的加速度，最后使用運動學的公式求解．

解答 解：（1）當球C在最高點處時．由牛頓第二定律，得：m_cg=$\frac{{m}_{c}{v}^{2}}{l}$
碰后球C從最低點到最高點過程中：-m_cg×2l=$\frac{1}{2}$m_cv²-$\frac{1}{2}$m_cv_c²
當球C在最低點處：F-m_cg=$\frac{{m}_{c}{{v}_{c}}^{2}}{l}$
解得：F=60N
（2）選取B與C組成的系統為研究的對象，B的初速度的方向為正方向，B與C碰撞的過程中滿足動量守恒，
設物塊B與球C碰撞前速度為v_B，碰撞后速度為v′_B，則：
m_Bv′_B+m_cv_c=m_Bv_B
$\frac{1}{2}$m_Bv_B′²+$\frac{1}{2}$m_cv_c²=$\frac{1}{2}$m_Bv_B²
解得：v_B=4m/s
（3）剛開始時，平板車的加速度大小a₁，物塊B的加速度大小a₂，
對平板車，由牛頓第二定律，-μm_Bg-μ（m_A+m_B）g=-m_Aa₁
得a₁=4m/s²
對物塊B，μm_Bg=m_Ba₂
a₂=2m/s²
假設B在加速階段與C相碰，加速時間t，則
v_B=a₂t
v′_A=v₀-a₁t，
且v′_A≥v_B
故平板車A的初速度：v₀≥12m/s
t₀=1.5s時平板車速度v₁=v₀-a₁t₀≥6m/s
由于v₁=5m/s 所以物塊B只能在與平板車相對靜止共同減速階段與球C相碰．
物塊B與平板車相對靜止共同減速時加速度大小a₃，由牛頓第二定律，得
-μ（m_A+m_B）g=-（m_A+m_B）a₃
解得：a₃=2m/s²
設物塊B與平板車速度相對滑動時間t₁，則
v₁=v₀-a₁t₁-a₃（1.5-t₁）
$\fracp9vv5xb5{2}$=v₀t₁$-\frac{1}{2}$a₁t₁²-$\frac{1}{2}$a₂t₁²
聯立式子，解得：v₀=9m/s
答：（1）B、C碰撞瞬間，細繩拉力的大小是60N；
（2）B、C碰撞前瞬間物塊B的速度大小是4m/s．
（3）若B、C碰撞時，物塊B在平板車的中間位置，且t₀=1.5s時平板車A的速度變為v₁=9m/s，則物塊B只能在與平板車相對靜止共同減速階段與球C相碰；小車的初速度是9m/s．

點評 該題的情景看似比較簡單，對B與C碰撞前的條件進行分析，確定有兩種不同的情況是解題的關鍵．該題解題的過程中容易出現錯誤．