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【題目】某公園有一塊邊長為3百米的正三角形空地，擬將它分割成面積相等的三個區域，用來種植三種花卉.方案是：先建造一條直道將分成面積之比為的兩部分（點D，E分別在邊，上）；再取的中點M，建造直道（如圖）.設，，（單位：百米）.

（1）分別求，關于x的函數關系式；

（2）試確定點D的位置，使兩條直道的長度之和最小，并求出最小值.

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知圓C：，橢圓E：（）的右頂點A在圓C上，右準線與圓C相切.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設過點A的直線l與圓C相交于另一點M，與橢圓E相交于另一點N.當時，求直線l的方程.

【題目】若函數在處有極值，且，則稱為函數的“F點”.

（1）設函數（）.

①當時，求函數的極值；

②若函數存在“F點”，求k的值；

（2）已知函數（a，b，，）存在兩個不相等的“F點”，，且，求a的取值范圍.

已知在全部200人中隨機抽取1人，抽到學習積極性不高的學生的概率為.

（1）請將上面的列聯表補充完整；

（2）是否有99.9%的把握認為學習積極性高與參加文體活動有關？請說明你的理由；

（3）若從不參加文體活動的同學中按照分層抽樣的方法選取5人，再從所選出的5人中隨機選取2人，求至少有1人學習積極性不高的概率.

附：

，其中.

【題目】在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達對祖國的熱愛之情，在數學中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中有著名的笛卡爾心型曲線，如圖，在直角坐標系中，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標方程為（），M為該曲線上的任意一點.

（1）當時，求M點的極坐標；

（2）將射線OM繞原點O逆時針旋轉與該曲線相交于點N，求的最大值.

【題目】新型冠狀病毒肺炎疫情爆發以來，疫情防控牽掛著所有人的心. 某市積極響應上級部門的號召，通過沿街電子屏、微信公眾號等各種渠道對此戰“疫”進行了持續、深入的懸窗，幫助全體市民深入了解新冠狀病毒，增強戰勝疫情的信心. 為了檢驗大家對新冠狀病毒及防控知識的了解程度，該市推出了相關的知識問卷，隨機抽取了年齡在15~75歲之間的200人進行調查，并按年齡繪制頻率分布直方圖如圖所示，把年齡落在區間和內的人分別稱為“青少年人”和“中老年人”. 經統計“青少年人”和“中老年人”的人數比為19:21. 其中“青少年人”中有40人對防控的相關知識了解全面，“中老年人”中對防控的相關知識了解全面和不夠全面的人數之比是2:1.

（1）求圖中的值；

（2）現采取分層抽樣在和中隨機抽取8名市民，從8人中任選2人，求2人中至少有1人是“中老年人”的概率是多少？

（3）根據已知條件，完成下面的2×2列聯表，并根據統計結果判斷：能夠有99.9%的把握認為“中老年人”比“青少年人”更加了解防控的相關知識？

附表及公式：，其中

【題目】三國時代吳國數學家趙爽所注《周髀算經》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實.圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形，分別涂成紅（朱）色及黃色，其面積稱為朱實、黃實，利用，化簡，得.設勾股形中勾股比為，若向弦圖內隨機拋擲顆圖釘（大小忽略不計），則落在黃色圖形內的圖釘數大約為（ ）

A. B. C. D.

【題目】已知橢圓E：（）的離心率為，且短軸的一個端點B與兩焦點A，C組成的三角形面積為.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）若點P為橢圓E上的一點，過點P作橢圓E的切線交圓O：于不同的兩點M，N（其中M在N的右側），求四邊形面積的最大值.

【題目】已知等腰梯形中（如圖1），，，為線段的中點，、為線段上的點，，現將四邊形沿折起（如圖2）

（1）求證：平面；

（2）在圖2中，若，求直線與平面所成角的正弦值.

【題目】已知函數有兩個零點.

(1)求的取值范圍；

(2)是否存在實數， 對于符合題意的任意，當 時均有?

若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由．