Question

【題目】已知函數有兩個零點.

(1)求的取值范圍；

(2)是否存在實數， 對于符合題意的任意，當 時均有?

若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）先分離得 ，再利用導數可得單調性：先減再增，結合圖像以及值域可得的取值范圍；（2）先根據，得，再根據零點解得，轉化不等式得，令，化簡得，因此 ， ，最后根據導數研究對應函數單調性，確定對應函數最值，即得取值集合

試題解析：(1) ，

當時， 對恒成立，與題意不符，

當， ，

∴時，

即函數在單調遞增，在單調遞減，

∵和時均有，

∴，解得： ，

綜上可知： 的取值范圍；

(2)由(1)可知，

由的任意性及知， ，且，

∴，

故，

又∵，令，則，且恒成立，

令，而，

∴時， 時，

∴，令，

若，則時， ，即函數在單調遞減，

∴，與不符；

若，則時， ，即函數在單調遞減，

∴，與式不符；

若，解得，此時恒成立， ，

即函數在單調遞增，又，

∴時， ； 時， 符合式，

綜上，存在唯一實數符合題意.