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（本題滿分12分）設正項數列的前項和，且滿足.
（Ⅰ）計算的值，猜想的通項公式，并證明你的結論；
（Ⅱ）設是數列的前項和，證明：.

已知函數,為正整數.
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)數列的通項公式為(),求數列的前項和;
(Ⅲ)設數列滿足:,,設,若(Ⅱ)中的滿足：對任意不小于3的正整數n,恒成立,試求m的最大值.

已知數列{a_n}的前n項和為
(Ⅰ)求數列{a_n}的通項公式;
(Ⅱ)若，求數列{C_n}的前n項和T_n

設數列的前項和為，且方程有一個根為，．
（1）證明：數列是等差數列；
（2）設方程的另一個根為，數列的前項和為，求的值；
（3）是否存在不同的正整數，使得，，成等比數列，若存在，求出滿足條件的，若不存在，請說明理由．

已知二次函數，且不等式對任意的實數恒成立，數列滿足，.
（1）求的值；
（2）求數列的通項公式；
（3）求證.

已知數列中，，前項的和為，對任意的，，，總成等差數列.
（1）求的值并猜想數列的通項公式
（2）證明：.

對任意都有
（Ⅰ）求和的值．
（Ⅱ）數列滿足：=+，數列是等差數列嗎？請給予證明；
（Ⅲ）令試比較與的大小．

已知數列的前項和為，常數，且對一切正整數都成立。
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設，，求證： <4

已知數列{}滿足=1，=，（1）計算，，的值；（2）歸納推測，并用數學歸納法證明你的推測．

下圖是一個按照某種規律排列出來的三角形數陣

假設第行的第二個數為
（1）依次寫出第七行的所有7個數字(不必說明理由);
（2）寫出與的遞推關系(不必證明),并求出的通項公式.