Question

設數列的前項和為，且方程有一個根為，．
（1）證明：數列是等差數列；
（2）設方程的另一個根為，數列的前項和為，求的值；
（3）是否存在不同的正整數，使得，，成等比數列，若存在，求出滿足條件的，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）利用等差數列的定義證明即可，（2），（3）存在不同的正整數，使得，，成等比數列

解析試題分析：（1）∵是方程的根，
∴
當時，，∴，
解得，∴                       2分
當時，，∴
化簡得,∴，∴，
∴，又                  5分
∴數列是以為首項，為公差的等差數列         6分
（2）由（1）得，
∴，帶入方程得，，∴,
∴原方程為，∴，∴     8分
∴                ①
          ②
① — ②得
   11分
,∴                          12分
（3）由（1）得，，假設存在不同的正整數，使得，，成等比數列，則
即,∵               14分
∴,化簡得，
∴,又∵，且
∴∴，∴                   16分
∴存在不同的正整數，使得，，成等比數列
考點：本題考查了數列的通項與求和
點評：數列的通項公式及應用是數列的重點內容，數列的大題對邏輯推理能力有較高的要求，在數列中突出考查學生的理性思維，這是近幾年新課標高考對數列考查的一個亮點，也是一種趨勢．隨著新課標實施的深入，高考關注的重點為等差、等比數列的通項公式，錯位相減法、裂項相消法等求數列的前n項的和等等