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設，，其中是常數，且．
（1）求函數的極值；
（2）證明：對任意正數，存在正數，使不等式成立；
（3）設，且，證明：對任意正數都有：．

定義域為的函數，其導函數為．若對，均有，則稱函數為上的夢想函數．
（Ⅰ）已知函數，試判斷是否為其定義域上的夢想函數，并說明理由；
（Ⅱ）已知函數（，）為其定義域上的夢想函數，求的取值范圍；
（Ⅲ）已知函數（，）為其定義域上的夢想函數，求的最大整數值．

已知函數
（1）當時，討論函數的單調性：
（2）若函數的圖像上存在不同兩點，設線段的中點為，使得在點處的切線與直線平行或重合，則說函數是“中值平衡函數”，切線叫做函數的“中值平衡切線”。試判斷函數是否是“中值平衡函數”？若是，判斷函數的“中值平衡切線”的條數；若不是，說明理由.

設函數，．
⑴ 求不等式的解集；
⑵ 如果關于的不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．

已知函數.
（I）求函數的單調區間；
（Ⅱ）若,對都有成立，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）證明：（且）.

已知函數．
（Ⅰ）當時，求曲線在原點處的切線方程；
（Ⅱ）當時，討論函數在區間上的單調性；
（Ⅲ）證明不等式對任意成立．

已知函數，其中e為自然對數的底數，且當x>0時恒成立．
（Ⅰ）求的單調區間；
（Ⅱ）求實數a的所有可能取值的集合；
（Ⅲ）求證：.

已知函數（為常數）．
（1）當時，求的單調遞減區間；
（2）若，且對任意的，恒成立，求實數的取值范圍.

對于函數，若在定義域內存在實數，滿足，則稱為“局部奇函數”．
（Ⅰ）已知二次函數，試判斷是否為“局部奇函數”？并說明理由；
（Ⅱ）若是定義在區間上的“局部奇函數”，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）若為定義域上的“局部奇函數”，求實數的取值范圍．

對于函數，若在定義域內存在實數，滿足，則稱為“局部奇函數”．
（Ⅰ）已知二次函數，試判斷是否為“局部奇函數”？并說明理由；
（Ⅱ）若是定義在區間上的“局部奇函數”，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）若為定義域上的“局部奇函數”，求實數的取值范圍．