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已知曲線C：xy＝1，過C上一點A_n(x_n，y_n)作一斜率為k_n＝－的直線交曲線C于另一點A_n+1(x_n+1，y_n+1)，點列{A_n}的橫坐標構成數列{x_n}，其中x₁＝．

(Ⅰ)求x_n與x_n+1的關系式；

(Ⅱ)令b_n＝＋，求證：數列{b_n}是等比數列；

(Ⅲ)若c_n＝3ⁿ－λb_n(λ為非零整數，n∈N*)，試確定λ的值，使得對任意n∈N*，都有c_n+1＞c_n成立．

已知函數f(x)＝ax＋xlnx的圖象在點x＝e(e為自然對數的底數)處的切線斜率為3．

(Ⅰ)求實數a的值；

(Ⅱ)若k∈z＝，且k＜對任意x＞1恒成立，求k的最大值；

(Ⅲ)當n＞m≥4時，證明(mnⁿ)^m＞(nm^m)ⁿ．

如圖，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面邊長為a，點M在邊BC上，△AMC₁是以點M為直角頂點的等腰直角三角形．

(Ⅰ)求證點M為邊BC的中點；

(Ⅱ)求點C到平面AMC₁的距離；

(Ⅲ)求二面角M－AC₁－C的大小．

已知函數f(x)＝sin2x－cos²x－(x∈R)．

(Ⅰ)求函數f(x)的最小值和最小正周期；

(Ⅱ)設△ABC的內角A、B、C對邊分別為a，b，c，且c＝，f(C)＝0，若

＝(1，sinA)與＝(2，sinB)共線，求a，b的值．

已知橢圓C：＋1(a＞b＞0)的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋＝0相切．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)若過點M(2，0)的直線與橢圓C相交于兩點A，B，設P為橢圓上一點，且滿足＋＝t(O為坐標原點)，當|－|＜時，求實數t的取值范圍．

已知函數f(x)＝3ax－2x²＋lnx，a為常數．

(Ⅰ)當a＝1時，求f(x)的單調區間；

(Ⅱ)若函數f(x)在區間[1，2]上為單調函數，求a的取值范圍．

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F分別是AB，PB的中點．

(Ⅰ)求證：EF∥平面PAD；

(Ⅱ)求證：EF⊥CD；

(Ⅲ)設PD＝AD＝a，求三棱錐B－EFC的體積．

已知向量＝(cosωx，sinωx)，＝(cosωx，cosωx)，其中(0＜ω＜2)．函數f(x)＝·－，其圖象的一條對稱軸為．

(Ⅰ)求函數f(x)的表達式及單調遞增區間；

(Ⅱ)在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，S為其面積，若＝1，b＝l，S_△ABC＝，求a的值．

已知數列{a_n}的相鄰兩項a_n，a_n+1是關于x的方程x²－2ⁿx＋b_n＝0(n∈N*)的兩根，且a₁＝1．

(Ⅰ)證明：數列{}是等比數列；

(Ⅱ)求數列{a_n}的前n項和S_n；

(Ⅲ)是否存在常數λ，使得b_n－λS_n＞0對于任意的正整數n都成立，若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．

如圖，橢圓C₁∶的離心率為，x軸被曲線C₂∶y＝x²－b截得的線段長等于C₁的長半軸長．

(Ⅰ)求C₁，C₂的方程．

(Ⅱ)設C₂與y軸的交點為M，過坐標原點O的直線l與C₂相交于點A，B，直線MA，MB分別與C₁相交于點D，E．求的值．