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已知曲線C₁的極坐標方程為ρ＝4sin，曲線C₂的極坐標方程為＝(ρ∈R)，曲線C₁，C₂相交于點M，N．

(1)將曲線C₁，C₂的極坐標方程化為直角坐標方程；

(2)求線段MN的長．

如圖，已知△ABC中，AB＝BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過D作DE⊥BC，垂足為E，連結OE．若CD＝，∠ACB＝30°，分別求AB，OE的長．

設函數f(x)＝lnx－ax²－bx

(1)若x＝1是f(x)的極大值點，求a的取值范圍．

(2)當a＝0，b＝－1時，函數F(x)＝f(x)－λx²有唯一零點，求正數λ的值．

已知橢圓的離心率為，橢圓上的點到右焦點F的最近距離為2，若橢圓C與x軸交于A、B兩點，M是橢圓C上異于A、B的任意一點，直線MA交直線l：x＝9

于G點，直線MB交直線l于H點．

(1)求橢圓C的方程；

(2)試探求以GH為直徑的圓是否恒經過x軸上的定點？若經過，求出定點的坐標；若不經過，請說明理由．

四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝2，點M是PB的中點，點N在BC邊上移動．

(Ⅰ)求證：當N是BC邊的中點時，MN∥平面PAC；

(Ⅱ)證明，無論N點在BC邊上何處，都有PN⊥AM；

(Ⅲ)當BN等于何值時，PA與平面PDN所成角的大小為45°．

甲、乙兩同學進行下棋比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分(無平局)，比賽進行到有一個人比對方多2分或比滿8局時停止，設甲在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立．已知第二局比賽結束時比賽停止的概率為．

(Ⅰ)如下圖為統計這次比賽的局數n和甲、乙的總得分S，T的程序框圖．其中如果甲獲勝，輸人a＝l．b＝0；如果乙獲勝，則輸人a＝0，b＝1．請問在①②兩個判斷框中應分別填寫什么條件？

(Ⅱ)求p的值；

(Ⅲ)設ξ表示比賽停止時已比賽的局數，求隨機變量ξ的分布列和Eξ．

已知，數列{a_n}的首項a₁＝1，a_n+1＝f(a_n)(n∈N^*)

(1)求數列{a_n}的通項公式；

(2)設，數列{b_n}的前n項和為S_n，求使S_n＞2012的最小正整數n．

設函數f(x)＝ax－lnx－3(a∈R)，g(x)＝．

(Ⅰ)若函數 g(x)的圖象在點(0，0)處的切線也恰為f(x)圖象的一條切線，求實數a的值；

(Ⅱ)是否存在實數a，對任意的x∈(0，e]，都有唯一的x₀∈[e^－4，e]，使得f(x₀)＝g(x)成立．若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．注：e是自然對數的底數．

已知橢圓C：(a＞0，b＞0)的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x－y＋＝0相切．又設P(4，0)，A，B是橢圓C上關于x軸對稱的任意兩個不同的點，連結PB交橢圓C于另一點E．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)證明：直線AE與x軸相交于定點Q，并寫出該定點坐標；

(Ⅲ)求·的取值范圍．

若將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折成一個直二面角，且EA⊥平面ABD，AE＝a(如圖)．

(Ⅰ)若a＝2，求證：AB∥平面CDE；

(Ⅱ)求實數a的值，使得二面角A－EC－D的大小為60°．