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下圖是一個計算裝置示意圖，J₁、J₂是數據入口，C是計算結果的出口，計算過程是由J₁，J₂分別輸入自然數m和n，經過計算后得自然數k由C輸出，此種計算裝置完成的計算滿足以下三個性質：

①若J₁、J₂分別輸入1，則輸出結果1；

②若J₁輸入任何固定自然數不變，J₂輸入自然數增大1，則輸出結果比原來增大2；

③若J₂輸入1，J₁輸入自然數增大1，則輸出結果為原來的2倍．

試問：(1)若J₁輸入1，J₂輸入自然數n，則輸出結果為多少？

(2)若J₂輸入1，J₁輸入自然數m，則輸出結果為多少？

(3)若J₁輸入自然數m，J₂輸入自然數n，則輸出結果為多少？

有純酒精a L(a＞1)，從中取出1 L，再用水加滿，然后再取出1 L，再用水加滿，如此反復進行．問第九次和第十次共取出多少升純酒精？

等差數列{a_n}的公差和等比數列{b_n}的公比都是d(d≠1)，且a₁＝b₁，a₄＝b₄，a₁₀＝b₁₀．

(1)求實數a₁和d的值；

(2)b₁₆是不是{a_n}中的項？如果是，是第幾項？如果不是，請說明理由．

已知數列{a_n}滿足lga_n＝3n＋5，試用定義證明{a_n}是等比數列．

已知數列{a_n}的前n項和S_n＝2a_n＋1，求證：數列{a_n}是等比數列，并求出通項公式．

已知四個數，前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，中間兩數之積為16，前后兩數之積為－128，求這四個數．

是否存在常數a、b、c使得等式1×2²＋2×3²＋3×4²＋…＋n(n＋1)²＝(an²＋bn＋c)對一切正整數n都成立？并證明你的結論．

已知數列{a_n}是等差數列，且3a₅＝8a₁₂＞0，數列{b_n}滿足b_n＝a_na_n+1a_n+2(n∈N^*)，{b_n}的前n項和為S_n，當n多大時，S_n取得最大值？并證明你的結論．

如圖，一個堆放鉛筆的Ｖ型架的最下面一層放1枝鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放1枝，最上面一層放120枝，則這個Ｖ型架上共放著多少枝鉛筆？

已知數列{a_n}的前n項和為S_n＝－n²＋n，試求出數列{|a_n|}的前n項和T_n．