Question

已知f（x）=lnx-

1

2

x，當x≥1時，f（x）+

k

4

＜0恒成立，則實數k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用

分析：依題意可知，當x≥1時，lnx-

1

2

x+

k

4

＜0恒成立，構造函數g（x）=2x-4lnx（x≥1），只需k＜g（x）_min即可，利用導數法可求得：當x=2時，g（x）=2x-4lnx取得極小值，也是最小值，即g（x）_min=g（2）=4-4ln2，從而可求得實數k的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=lnx-

1

2

x，
∴當x≥1時，f（x）+

k

4

＜0恒成立?當x≥1時，lnx-

1

2

x+

k

4

＜0恒成立，
即k＜2x-4lnx（x≥1）恒成立，令g（x）=2x-4lnx（x≥1），則k＜g（x）_min．
∵g′（x）=2-

4

x

=

2x-4

x

，
∴當1≤x＜2時，g′（x）＜0，g（x）在[1，2）上單調遞減；
當x≥2時，g′（x）≥0，g（x）在（2，+∞）上單調遞增；
∴當x=2時，g（x）=2x-4lnx取得極小值，也是最小值，即g（x）_min=g（2）=4-4ln2，
∴k＜4-4ln2，
故答案為：（-∞，4-4ln2）．

點評：本題考查函數恒成立問題，構造函數g（x）=2x-4lnx（x≥1），利用導數求得g（x）_min=g（2）=4-4ln2是關鍵，考查等價轉化思想與運算求解能力．