Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，準線為L，點M在L上，且線段MF交拋物線于點N，若|MN|=2|NF|，且△OMN（O是坐標原點）的面積為

2

3

3

，則p=

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據拋物線的定義，得到三角形的面積關系即可得到結論．

解答： 解：過N作NB⊥l于B，則|NF|=|NB|，
若|MN|=2|NF|，
則|MN|=2|NF|=2|NB|，
即

|BN|

|MN|

=

1

2

，
則∠AMF=30°，
∵|AF|=p，∴|MF|=2p，|AM|=

3

p，
|MN|=

2

3

×2p=

4p

3

，|MB|=|MN|cos30°=

4p

3

×

3

2

=

2 3 p

3

，
則|AB|=|AM|-|MB|=

3

p-

2 3 p

3

=

3 p

3

，
則S_△OMN=S_△AMF-S_△AOM-S_△ONF=

1

2

×p×

3

p-

1

2

×

p

2

×

3

p-

1

2

×

p

2

×

3 p

3

=

3 p2

6

=

2

3

3

，
即p²=4，解得p=2，
故答案為：2

點評：本題主要考查拋物線的方程的應用，根據拋物線的定義建立條件關系是解決本題的關鍵．