Question

如圖，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD∥BC，PD：DC：BC=1：1：

2

（1）求PB與平面PDC所成角的大��；
（2）求二面角D-PB-C的正切值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：（1）根據直線與平面的垂直得出PB與平面PDC所成角為∠BPC，在Rt△PBC中，求解即可．
（2）建立坐標系，求解平面PBC的法向量，

n

=（x，y，z）為平面PBD的法向量，利用向量的數量積求解即可．

解答： 解：（1）∵PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，
∴AD⊥平面PCD，
∵AD∥BC，
∴BC⊥平面PCD，
∴PB與平面PDC所成角為∠BPC，
∵Rt△PBC中，PD：DC：BC=1：1：

2

∴BC=PC，
∴∠BPC=45°．
（2）分別以DA，DC，DP為x，y，z軸，設DP=1，則DC=1，BC=

2

，
∴D（0，0，0），P（0，0，1），B（

2

，1，0），C（0，1，0），
∴

PB

=（

2

，1，-1），

DB

=B（

2

，1，0），
∴設

n

=（x，y，z）為平面PBD的法向量，
∴

n • PB =0 n • DB =0

2 x+y-z=0 2 x+y=0

∴

n

=（

2

，-2，0）
∵PC中的為E，
∴DE⊥PC，
∵BC⊥平面PCD，
∴BC⊥DE，
∵BC∩PC=C
∴DE⊥平面PBC，
∴

DE

=（0，

1

2

，

1

2

）為平面PBC的法向量，
∵cos＜

n

，

DE

＞=-

3

3

，
∴sin＜

n

，

DE

＞=

6

3

，
∵二面角D-PB-C是銳二面角
∴二面角D-PB-C的正切值為

6 3

3 3

=

2

．

點評：本題主要考查線面垂直的性質定理的應用，面垂直的判定定理的應用求解法向量，解決面面角問題，難度中等．