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11.如圖所示,在四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=$\sqrt{2}$,BD⊥CD,將四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折成四面體A′-BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,則下列結(jié)論正確的是(2)(3).
(1)A′C⊥BD;
(2)∠BA′C=90°;
(3)四面體A′-BCD的體積為$\frac{1}{6}$.

分析 折疊前AB⊥AD,折疊后CD⊥平面A'BD,取BD的中點(diǎn)O,推導(dǎo)出A'O⊥平面BCD,OC不垂直于BD.由此能求出結(jié)果.

解答 解:∵折疊前AB=AD=1,BD=$\sqrt{2}$,即AB⊥AD,
折疊后平面A'BD⊥平面BCD,且CD⊥BD,
故CD⊥平面A'BD,取BD的中點(diǎn)O,∵A'B=A'D,
∴A'O⊥BD.又平面A'BD⊥平面BCD,平面A'BD∩平面BCD=BD,
∴A'O⊥平面BCD.
∵CD⊥BD,
∴OC不垂直于BD.假設(shè)A'C⊥BD,
∵OC為A'C在平面BCD內(nèi)的射影,
∴OC⊥BD,矛盾,∴A'C不垂直于BD,故A錯(cuò)誤;
∵CD⊥BD,平面A'BD⊥平面BCD,
∴CD⊥平面A'BD,A'C在平面A'BD內(nèi)的射影為A'D.
∵A'B=A'D=1,BD=$\sqrt{2}$,
∴A'B⊥A'D,A'B⊥A'C,∴∠BA′C=90°,故(2)正確;
∵A′C與平面A'BD不垂直,故A′C與BD不垂直,故(1)錯(cuò)誤;
V${\;}_{{A}^{'}-BCD}$=V${\;}_{C-{A}^{'}BD}$=$\frac{1}{3}$${S}_{△{A}^{'}BD}$•CD=$\frac{1}{6}$,故(3)正確.
故答案為:(2)(3).

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題真假的判斷,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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階積和式進(jìn)行計(jì)算:$[\begin{array}{l}{a_1}{a_2}{a_3}\\{b_1}{b_2}{b_3}\\{c_1}{c_2}{c_3}\end{array}]={a_1}×[\begin{array}{l}{b_2}{b_3}\\{c_2}{c_3}\end{array}]+{a_2}×[\begin{array}{l}{b_1}{b_3}\\{c_1}{c_3}\end{array}]+{a_3}×[\begin{array}{l}{b_1}{b_2}\\{c_1}{c_2}\end{array}]$.已知函數(shù)f(n)=$[\begin{array}{l}{n}&{2}&{-9}\\{n}&{1}&{n}\\{1}&{2}&{n}\end{array}]$
(n∈N*),則f(n)的最小值為-21.

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6.設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|,a∈R.
(Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí),解不等式:f(x)≥6-|2x-5|;
(Ⅱ)若關(guān)于x的不等式f(x)≤4的解集為[-1,7],且兩正數(shù)s和t滿足2s+t=a,求證:$\frac{1}{s}+\frac{8}{t}≥6$.

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16.對(duì)于實(shí)數(shù)x,用[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[0.32]=0,[5.68]=5.若n為正整數(shù),an=[$\frac{n}{4}$],Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則S40=(  )
A.190B.180C.170D.160

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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