Question

如圖所示，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點和上頂點分別為A，B，點D（

2

，

2

2

）為橢圓上一點，且OD∥AB．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）D′與D關于x軸對稱，P為線段OD′延長線上一點，直線PA交橢圓于另外一點，直線PB交橢圓于另外一點F，
①求直線PA與PB的斜率之積；
②直線AB與EF是否平行？說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）依題意，有A（-a，0），B（0，b），a=2b，橢圓方程為

x2

4b2

+

y2

b2

=1，把點D（

2

，

2

2

）代入，能求出橢圓方程．
（2）①由已知得D′（

2

，-

2

2

），則OD′所在直線方程為y=-

1

2

x，設P（2m，-m），且有A（-2，0），B（0，1），由此能求出直線PA與PB的斜率之積．
②設k_AP=k，則AP所在直線方程為y=k（x+2），代入橢圓方程，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，由此利用韋達定理，結合已知條件能求出AB∥EF．

解答： 解：（1）依題意，有A（-a，0），B（　　），b），
∵k_OD=

1

2

，∴

b

a

=

1

2

，∴a=2b，
橢圓方程為

x2

4b2

+

y2

b2

=1，
∵點D（

2

，

2

2

）在橢圓上，∴

2

4b2

+

1

2b2

=1，解得b²=1，
∴所求橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
（2）①由已知得D′（

2

，-

2

2

），則OD′所在直線方程為y=-

1

2

x，
設P（2m，-m），且有A（-2，0），B（0，1），
k_AP•k_BP=

-m-1

2m

•

-m

2m+2

=

1

4

．
②設k_AP=k，則AP所在直線方程為y=k（x+2），
代入橢圓方程，并整理，得：
（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，
則由xAxE=

16k2-4

1+4k2

，∴x_E=

2-8k2

1+4k2

，y_E=k（x_E+2）=

4k

1+4k2

，
E（

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

），
由①知k_BP=

1

4k

，
直線BP所在直線方程為y=

1

4k

x+1，
同上，得F(-

8k

1+4k2

，

4k2-1

1+4k2

)，
∴k_EF=

4k2-1 1+4k2 - 4k 1+4k2

- 8k 1+4k2 - 2-8k2 1+4k2

=

1

2

=kAB，
∴AB∥EF．

點評：本題考查橢圓的標準方程的求法，考查直線PA與PB的斜率之積的求法，考查直線AB與EF是否平行的判斷，解題時要注意函數與方程思想的合理運用．