Question

已知

a

=（2+sinx，1），

b

=（2，-1），

c

=（sinx-3，1），

d

=（1，k），（x∈R，k∈R）．
（Ⅰ）若

a

與（

b

+

c

）共線，求sinx的值．
（Ⅱ）若k的值使（

a

+

d

）⊥（

b

+

c

），試求k的取值范圍．
（Ⅲ）若x∈[0，

π

2

]，將函數y=

a

•

b

的圖象縱坐標不變橫坐標縮短為原來的

1

2

后，再向左平移

π

8

個單位得到函數f（x）的圖象，試求函數f（x）的值域．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,平面向量數量積的運算,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質,向量與圓錐曲線

分析：（Ⅰ）根據向量的坐標利用向量的共線的充要條件求出結果．
（Ⅱ）根據向量的坐標，進一步求出向量垂直的充要條件，進一步確定k的結果．
（Ⅲ）根據向量的數量積，再根據正弦型函數的圖象變換求出解析式，進一步利用函數的定義域，求出函數的值域．

解答： 解：（Ⅰ）已知：

a

=(2+sinx，1)，

b

=(2，-1)，

c

=(sinx-3，1)
則：

b

+

c

=(sinx-1，0)
由于

a

和

b

+

c

共線，
則：sinx-1=0
解得：sinx=1
（Ⅱ）由于

a

=(2+sinx，1)，

b

=(2，-1)，

c

=(sinx-3，1)，

d

=(1，k)
則：

a

+

d

=(3+sinx，k+1)，

b

+

c

=(sinx-1，0)
由于(

a

+

d

)⊥(

b

+

c)

則：（3+sinx）（sinx-1）=0
所以：求得的結果與k值無關，k為任意實數．
（Ⅲ）y=

a

•

b

=2（2+sinx）-1=2sinx+3
圖象縱坐標不變橫坐標縮短為原來的

1

2

后，再向左平移

π

8

個單位得到函數f（x）的圖象，
f（x）=2sin（2x+

π

4

）+3
由于x∈[0，

π

2

]
則：-

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1
所以：3-

2

≤f(x)≤5
則函數的值域為：f（x）∈[3-

2

，5]

點評：本題考查的知識要點：向量共線的充要條件，向量垂直的充要條件的應用．利用正弦型函數的定義域求函數的值域．屬于基礎題型．