Question

如圖，P是邊長為a的正方形所在平面ABCD外一點，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，E為AB上的點，是否存在點E，使平面PCE⊥平面PCD？若存在，指出點E的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：設點E在點B上，可求得二面角B-PC-D等于120°，當點E在點A上時，二面角A-PC-D=

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×120=60°，從而有當點E從點B移動到點A時，二面角E-PC-D，從120°減小到60°，所以其中必經過90°這一位置．

解答： 解：設點E在點B上，先求二面角B-PC-D的大小，
作BH垂直于PC，H為垂足，連接DH，角DHB為所求的二面角的平面角，
在△PBC中，BC=a，PB=

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a，PC=

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a，這是一個直角△，所以BH*

3

a=

2

a*1，BH=

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3

，
DH=BH，在△BDH中，BD=

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a，DH=BH=

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，用余弦定理可以求得∠DHB=120°，
當點E在點A上時，二面角A-PC-D=

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2

×120=60°，
所以當點E從點B移動到點A時，二面角E-PC-D，從120°減小到60°，所以其中必經過90°這一位置，
故得結論：存在這樣的點E．

點評：本題主要考查了平面與平面垂直的判定，二面角的平面角的解法，屬于基本知識的考查．