Question

（14 分）如圖（1）是一正方體的表面展開圖，MN 和PB 是兩條面對角線，請在圖（2）的正方體中將MN 和PB 畫出來，并就這個正方體解決下面問題。

（1）求證：MN//平面PBD；
（2）求證：AQ⊥平面PBD；
（3）求二面角P—DB—M 的大小．

Answer 1

(1)略
(2)略
(3)

解：M、N、Q、B的位置如右圖示。（正確標出給1分）
（1）∵ND//MB且ND=MB
∴四邊形NDBM為平行四邊形
∴MN//DB………………3分
∴BD平面PBD，MN
∴MN//平面PBD……………………4分
（2）∵QC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，
∴BD⊥QC……………………5分
又∵BD⊥AC，
∴BD⊥平面AQC…………………………6分
∵AQ面AQC
∴AQ⊥BD，同理可得AQ⊥PB，
∵BDPD=B
∴AQ⊥面PDB……………………………8分
（3）解法1：分別取DB、MN中點E、F連結
PE、EF、PF………………9分
∵在正方體中，PB=PB
∴PE⊥DB……………………10分
∵四邊形NDBM為矩形
∴EF⊥DB
∴∠PEF為二面角P—DB—M為平面角…………11分
∵EF⊥平面PMN
∴EF⊥PF
設正方體的棱長為a，則在直角三角形EFP中
∵
∴
…………………………13分
解法2：設正方體的棱長為a，
以D為坐標原點建立空間直角坐標系如圖：
則點A（a,0，0），P（a,0,a），Q（0,a,a）…………9分
∴………………10分
∵PQ⊥面DBM，由（2）知AQ⊥面PDB
∴分別為平面PDB、平面DBM的法向量……………………12分
∴

∴………………13分