Question

已知焦點在y軸,頂點在原點的拋物線C1經過點P(2,2),以C1上一點C2為圓心的圓過定點A(0,1),記為圓與軸的兩個交點.

(1)求拋物線的方程;

(2)當圓心在拋物線上運動時,試判斷是否為一定值？請證明你的結論;

(3)當圓心在拋物線上運動時,記,,求的最大值．

 

Answer 1

(1）x2=2y ；(2)定值2；(3）

【解析】

試題分析：(1)由焦點在y軸,頂點在原點的拋物線假設為，又C1經過點P(2,2)，即可求出拋物線的.即可得拋物線的方程.

(2）當圓心在拋物線上運動時，寫出圓的方程，再令y=0即可求得圓的方程與x軸的兩交點的坐標，計算兩坐標的差即可得到結論.

(3）當圓心在拋物線上運動時，由(1)可得M,N的坐標（其中用圓心的坐標表示）.根據兩點的距離公式即可用圓心的坐標表示m,n的值，將適當變形，再根據基本不等式即可求得的最大值.

(1)由已知,設拋物線方程為x2=2py,22=2p×2,解得p=1.

所求拋物線C1的方程為x2=2y.-------3分

(2)法1：設圓心C2(a,a2/2),則圓C2的半徑r=

圓C2的方程為.

令y=0,得x2－2ax+a2－1=0,得x1=a－1,x2=a+1.

|MN|=|x1－x2|=2(定值).------7分

法2：設圓心C2(a,b),因為圓過A(0,1),所以半徑r=,

,因為C2在拋物線上,a2=2b,且圓被x軸截得的弦長

|MN|=(定值)---7分

(3)由(2)知,不妨設M(a-1,0),N(a+1,0),

考點：1.拋物線的性質.2.最值問題.3.基本不等式的應用.