Question

已知橢圓C的中心在原點，一個焦點F(-2,0)，且長軸長與短軸長的比為，

（1）求橢圓C的方程；

（2）設點M(m,0)在橢圓C的長軸上，設點P是橢圓上的任意一點，若當最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，求實數m的取值范圍.

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】

試題分析：

（1）根據橢圓的中心在原點可以設出橢圓的標準方程，已知焦點坐標，故可求的c值，所以利用長軸長與短軸長之比和a,b,c的關系可以建立關于a,b的兩個方程式聯立消元即可求的a,b的值，得到橢圓的標準方差.（2）根據題意設點P的坐標，表示,利用點P在橢圓上，得到關于m和P點橫坐標的表達式，利用二次函數最值問題，可以得到取得最小值時，m和P點橫坐標之間的關系，再利用P橫坐標的范圍得到m的取值范圍即可.

試題解析：

（1）設橢圓的方程為. 1分

由題意有：， 3分

解得. 5分

故橢圓的方程為. 6分

（2）設為橢圓上的動點，由于橢圓方程為，故. 7分

因為，所以

10分

因為當最小時，點恰好落在橢圓的右頂點，即當時，

取得最小值．而，

故有，解得． 12分

又點在橢圓的長軸上，即． 13分

故實數的取值范圍是． 14分

考點：橢圓標準方程橢圓幾何性質最值