Question

如圖，四棱錐A-BCDE的底面BCDE是直角梯形，CE∥BD，∠ECB=90°，AC⊥平面BCDE，CE=CB=CA=2，BD=1．
（Ⅰ）求直線CA與平面ADE所成角的正弦值；
（Ⅱ）在線段ED上是否存在一點F，使得異面直線CF與AB所成角余弦值等

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？若存在，試確定點F的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，求出平面ADE的法向量，即可求得直線CA與平面ADE所成角的正弦值；
（Ⅱ）假設存在λ∈（0，1），使得

EF

=λ

ED

，則F（0，2λ，2-λ），利用異面直線CF與AB所成角余弦值等于

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，建立等式，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）如圖建立空間直角坐標系，則A（2，0，0），B（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，2）．
∴

CA

=(2，0，0)，

AE

=(-2，0，2)，

ED

=(0，2，-1)…（2分）
設平面ADE的法向量是

m

=(x，y，z)，
∴

-2x+2z=0 2y-z=0

，取y=1，得

m

=(2，1，2)，…（4分）
∴直線CA與平面ADE所成角的正弦值是|cos＜

CA

，

m

＞|=

2

3

；              …（6分）
（Ⅱ）假設存在λ∈（0，1），使得

EF

=λ

ED

，則F（0，2λ，2-λ），
∴

CF

=（0，2λ，2-λ），
∵

AB

=(-2，2，0)，∴|cos＜

CF

，

AB

＞|=

2 λ

4λ2+(2-λ)2

…（8分）
令

2 λ

4λ2+(2-λ)2

=

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，解得λ=-1，或λ=

1

2

，…（10分）
∵λ∈（0，1），∴λ=

1

2

，…（11分）
∴當F是線段線段ED的中點時，異面直線CF與AB所成角余弦值等于

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．…（12分）

點評：本題考查利用空間向量解決立體幾何問題，解題的關鍵是建立坐標系，用向量表示點與坐標．