Question

如圖：四棱錐A-BCQP中，二面角A-BC-P為90°，且∠BAC=∠BCQ=90°，∠CBP=45°BP+AP=BC，AB=AC=B．
（Ⅰ）求證：平面AB⊥平面ACQ；
（Ⅱ）求直線AP與平面ACQ所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）證明AB⊥AC，AB⊥QC，利用線面垂直的判定可得AB⊥平面ACQ；
（Ⅱ）設線段BC的中點是O，連接OP，OA，設PO′⊥平面ACQ于O′，則∠PAO′是AP與平面ACQ所成的角，∠PAO′與∠BAP互余，求得∠BAP=60°，即可得到結論．
解答：（Ⅰ）證明：∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC
∵側面ABC⊥底面BCQP且∠BCQ=90°，∴QC⊥平面ABC
∵AB?平面ABC
∴AB⊥QC
∵AC∩QC=C
∴AB⊥平面ACQ；
（Ⅱ）解：設線段BC的中點是O，連接OP，OA
設PO′⊥平面ACQ于O′，則∠PAO′是AP與平面ACQ所成的角
由（Ⅰ）知AB⊥平面ACQ，AB∥PO′，∠PAO′與∠BAP互余
∵AB=AC=，∠BAC=90°，∴BC=2，AO⊥BC，∴AO⊥平面BCQP
設BP=x，∵BP+AP=BC，∴AP=2-x，AO=BO=1，OP²=（2-x）²-1
在△OPB中，由余弦定理得OP²=OB²+BP²-2OB×BPcos45°，∴x=
∴△ABP為等邊三角形
∴∠BAP=60°
∴∠PAO′=30°，即直線AP與平面ACQ所成角為30°．
點評：本題考查線面垂直，考查線面角，解題的關鍵是掌握線面垂直的判定，正確作出線面角，屬于中檔題．