Question

12．等差數列{a_n}中，a₁=25，S₁₇=S₉，則當n=13時，S_n有最大值．

Answer 1

分析 根據等差數列的性質化簡S₁₇=S₉，再利用等差數列的通項公式化簡，用含a₁的式子表示出d，把a₁的值代入即可求出d的值，然后由a₁和d的值寫出等差數列的通項公式，進而表示出等差數列的前n項和為關于n的二次函數，配方后即可求出S_n的最大值．

解答 解：由S₁₇=S₉，
得到$\frac{17（{a}_{1}+{a}_{17}）}{2}$=$\frac{9（{a}_{1}+{a}_{9}）}{2}$，即17（2a₁+16d）=9（2a₁+8d），又a₁=25，
解得：d=-$\frac{2{a}_{1}}{25}$=-2，
所以a_n=a₁+（n-1）d=-2n+27，
則S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=$\frac{n（-2n+52）}{2}$=-n²+26n=-（n-13）²+169，
所以當n=13時，S_n有最大值．
故答案是：13．

點評 此題考查學生靈活運用等差數列的通項公式及前n項和公式化簡求值，掌握等差數列的性質，是一道基礎題．