Question

17．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（2-x），x≤1}\\{|x-5|-1，3≤x≤7}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1）的圖象上關于直線x=1對稱的點有且僅有一對，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{5}$]∪{3}
• B． [3，5）∪{$\frac{1}{7}$}
• C． [$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$]∪{5}
• D． [3，7）∪{$\frac{1}{5}$}

Answer 1

分析 若函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（2-x），x≤1}\\{|x-5|-1，3≤x≤7}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1）的圖象上關于直線x=1對稱的點有且僅有一對，則函數y=log_ax，與y=|x-5|-1上有且只有一個交點，解得：實數a的取值范圍．

解答 解：∵函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（2-x），x≤1}\\{|x-5|-1，3≤x≤7}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1）的圖象上關于直線x=1對稱的點有且僅有一對，
∴函數y=log_ax，與y=|x-5|-1上有且只有一個交點，

當對數函數的圖象過（5，-1）點時，a=$\frac{1}{5}$，
當對數函數的圖象過（3，1）點時，a=3，
當對數函數的圖象過（7，1）點時，a=7，
故a[3，7）∪{$\frac{1}{5}$}，
故選：D

點評 本題考查的知識點是分段函數的應用，函數的圖象，數形結合思想，難度中檔．