Question

13．設命題p：不等式x-x²≤a對?x≥1恒成立，命題q：關于x的方程x²-ax+1=0在R上有解．
（1）若?p為假命題，求實數a的取值范圍；
（2）若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若?p為假命題，則p為真命題，進而可得實數a的取值范圍；
（2）若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，則p真q假，或者p假q真，進而可得實數a的取值范圍；

解答 解：（1）∵￢p為假命題，
∴命題p為真命題；
∵x-x²在x∈[1，+∞）單調遞減，
∴x-x²的最大值為0，
故a≥0；
（2）命題q：△=a²-4≥0，
∴a≥2或a≤-2，
“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，等價于p真q假，或者p假q真，
則$\left\{{\begin{array}{l}{a≥0}\\{-2＜a＜2}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a≤-2或a≥2}\end{array}}\right.$，
∴實數a的取值范圍為a≤-2或0≤a＜2．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，函數恒成立，方程的根等知識點，難度中檔．