Question

9．已知F₁、F₂是橢圓$\frac{x^2}{λ+1}+\frac{y^2}{λ}=1\;（0＜λ＜1）$在左、右焦點，直線AB經過F₂交橢圓于A、B兩點（A點在x軸上方），連結AF₁、BF₁．
（1）求橢圓的焦點坐標和△ABF₁周長；
（2）求△ABF₁面積的最大值（用λ表示）．

Answer 1

分析 （1）利用c=$\sqrt{λ+1-λ}$，可得焦點．由橢圓的定義可得：|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，即可得出．
（2）設直線AB的方程為：my=x-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯立化為：（λm²+λ+1）y²+2λmy-λ²=0，利用根與系數的關系可得|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$．可得△ABF₁面積S=$\frac{1}{2}×2c×$|y₁-y₂|，化簡利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：（1）由橢圓$\frac{x^2}{λ+1}+\frac{y^2}{λ}=1\;（0＜λ＜1）$，可得c=$\sqrt{λ+1-λ}$=1，可得焦點（±1，0）．
由橢圓的定義可得：|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a=2$\sqrt{λ+1}$．
∴△ABF₁周長=4$\sqrt{λ+1}$．
（2）設直線AB的方程為：my=x-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{λ+1}+\frac{{y}^{2}}{λ}=1}\end{array}\right.$，化為：（λm²+λ+1）y²+2λmy-λ²=0，
△＞0，y₁+y₂=$\frac{-2λm}{λ{m}^{2}+λ+1}$，y₁y₂=$\frac{-{λ}^{2}}{λ{m}^{2}+λ+1}$．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2λ\sqrt{λ{m}^{2}+λ+{m}^{2}+1}}{λ{m}^{2}+λ+1}$．
∴△ABF₁面積S=$\frac{1}{2}×2c×$|y₁-y₂|=$\frac{2λ\sqrt{λ{m}^{2}+λ+{m}^{2}+1}}{λ{m}^{2}+λ+1}$=$\frac{2λ\sqrt{λ+1}}{\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}+λ\sqrt{{m}^{2}+1}}$≤$\frac{2λ\sqrt{λ+1}}{2\sqrt{λ}}$=$\sqrt{{λ}^{2}+λ}$．當且僅當m=0時取等號．
∴△ABF₁面積的最大值為$\sqrt{{λ}^{2}+λ}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓的相交弦長問題、一元二次方程的根與系數的關系、三角形面積計算公式、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．