Question

【題目】設n∈N* ， f（n）=3n+7n﹣2．
（1）求f（1），f（2），f（3）的值；
（2）證明：對任意正整數n，f（n）是8的倍數．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2，

∴f（1）=3+7﹣2=8，

f（2）=32+72﹣2=56，

f（3）=33+73﹣2=368

（2）證明：用數學歸納法證明如下：

①當n=1時，f（1）=3+7﹣2=8，成立；

②假設當n=k時成立，即f（k）=3k+7k﹣2能被8整除，

則當n=k+1時，

f（k+1）=3k+1+7k+1﹣2

=3×3k+7×7k﹣2

=3（3k+7k﹣2）+4×7k+4

=3（3k+7k﹣2）+4（7k+1），

∵3k+7k﹣2能被8整除，7k+1是偶數，

∴3（3k+7k﹣2）+4（7k+1）一定能被8整除，

即n=k+1時也成立．

由①②得：對任意正整數n，f（n）是8的倍數

【解析】（1）由n∈N* ， f（n）=3n+7n﹣2，分別取n=1，2，3，能求出f（1），f（2），f（3）的值．（2）利用用數學歸納法能證明對任意正整數n，f（n）是8的倍數．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的值的相關知識，掌握函數值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數的單調性法．