Question

【題目】定義區間（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的長度均為d=b﹣a，多個區間并集的長度為各區間長度之和，例如，（1，2）∪[3，5）的長度d=（2﹣1）+（5﹣3）=3．用[x]表示不超過x的最大整數，記{x}=x﹣[x]，其中x∈R．設f（x）=[x]{x}，g（x）=x﹣1，當0≤x≤k時，不等式f（x）＜g（x）解集區間的長度為5，則k的值為 ．

Answer 1

【答案】7
【解析】解：f（x）=[x]{x}=[x]（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2 ， g（x）=x﹣1，
f（x）＜g（x）[x]x﹣[x]2＜x﹣1即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1，
當x∈[0，1）時，[x]=0，上式可化為x＞1，
∴x∈；
當x∈[1，2）時，[x]=1，上式可化為0＞0，
∴x∈；
當x∈[2，3）時，[x]=2，[x]﹣1＞0，上式可化為x＜[x]+1=3，
∴當x∈[0，3）時，不等式f（x）＜g（x）解集區間的長度為d=3﹣2=1；
同理可得，當x∈[3，4）時，不等式f（x）＜g（x）解集區間的長度為d=4﹣2=2；
∵不等式f（x）＜g（x）解集區間的長度為5，
∴k﹣2=5，
∴k=7．
所以答案是：7．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用區間與無窮的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握區間的概念：（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間（2）無窮區間（3）區間的數軸表示．