Question

（本小題滿分12分）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，側棱AA1⊥面ABC，D、E分別是棱A1B1、AA1的中點，點F在棱AB上，且．

（Ⅰ）求證：EF∥平面BDC1；

（Ⅱ）求二面角E－BC1－D的余弦值．

 

Answer 1

（1）EF∥平面BDC1 ；（2）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）如圖，取的中點M，，為的中點，又為的中點，∴，

在三棱柱中，分別為的中點，，且，則四邊形A1DBM為平行四邊形，，，又平面，平面，平面．（2）連接DM，分別以、、所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖空間直角坐標系，則，，，，∴，，．設面BC1D的一個法向量為，面BC1E的一個法向量為，則由得取，又由得取，則，故二面角E－BC1－D的余弦值為．

試題解析：（Ⅰ）證明：取的中點M，，

為的中點，又為的中點，∴，

在三棱柱中，分別為的中點，

，且，

則四邊形A1DBM為平行四邊形，，

，又平面，平面，

平面．5分

（Ⅱ）連接DM，分別以、、所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖空間直角坐標系，則，，，，

∴，，．

設面BC1D的一個法向量為，面BC1E的一個法向量為，

則由得取，

又由得取，

則， 11分

故二面角E－BC1－D的余弦值為． 12分

考點：1．線面平行；2．二面角的求解