Question

10．已知函數f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{|lnx|，（0＜x≤e）}\\{2-lnx，（x＞e）}\end{array}}$，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），求a+b+c的取值范圍．

Answer 1

分析 根據f（x）的函數圖象判斷a，b，c的范圍，利用f（a）=f（b）=f（c）得出a，b，c的關系，得出a+b+c關于a的函數，求出此函數的值域即可．

解答 解：作出函數f（x）的大致圖象，如圖所示：

不妨設a＜b＜c，則0＜a＜1，1＜b＜e．
∵f（a）=f（b），即-lna=lnb，∴ab=1，即b=$\frac{1}{a}$，
同理-lna=2-lnc，∴$\frac{c}{a}$=e²，即c=ae²．
∴a+b+c=a+$\frac{1}{a}$+ae²=（e²+1）a+$\frac{1}{a}$，
又0＜a＜1，1＜b＜e，b=$\frac{1}{a}$，∴$\frac{1}{e}$＜a＜1，
令函數g（a）=（e²+1）a+$\frac{1}{a}$（$\frac{1}{e}$＜a＜1），則g′（a）=e²+1-$\frac{1}{{a}^{2}}$＞0，
∴g（a）在（$\frac{1}{e}$，1）上單調遞增，
∴g（$\frac{1}{e}$）＜g（a）＜g（1），即2e+$\frac{1}{e}$＜g（a）＜e²+2．
∴2e+$\frac{1}{e}$＜a+b+c＜e²+2．

點評 本題考查了方程解與函數圖象的關系，函數值域的計算，屬于中檔題．