Question

18．正項數列{a_n}，a₁=1，前n項和S_n滿足${S_n}•\sqrt{{S_{n-1}}}-{S_{n-1}}•\sqrt{S_n}=2\sqrt{{S_n}•{S_{n-1}}}（n≥2）$，則s_n=$\frac{1}{（2n-1）^{2}}$．

Answer 1

分析 正項數列{a_n}，a₁=1，前n項和S_n滿足${S_n}•\sqrt{{S_{n-1}}}-{S_{n-1}}•\sqrt{S_n}=2\sqrt{{S_n}•{S_{n-1}}}（n≥2）$，可得：$\frac{1}{\sqrt{{S}_{n}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{S}_{n-1}}}$=2，利用等差數列的通項公式即可得出．

解答 解：∵正項數列{a_n}，a₁=1，前n項和S_n滿足${S_n}•\sqrt{{S_{n-1}}}-{S_{n-1}}•\sqrt{S_n}=2\sqrt{{S_n}•{S_{n-1}}}（n≥2）$，
∴$\frac{1}{\sqrt{{S}_{n}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{S}_{n-1}}}$=2，
∴數列$\{\frac{1}{\sqrt{{S}_{n}}}\}$是等差數列，首項為1，公差為2．
∴$\frac{1}{\sqrt{{S}_{n}}}$=1+2（n-1）=2n-1．
∴S_n=$\frac{1}{（2n-1）^{2}}$．
故答案為：$\frac{1}{（2n-1）^{2}}$．

點評 本題考查了等差數列的定義通項公式、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．