Question

已知定義在實數集上的函數fn(x)=xn，(n∈N*)，其導函數記為fn′(x)，且滿足f2′[ax1+(1-a)x2]=

f2(x2)-f2(x1)

x2-x1

，其中a、x₁、x₂為常數，x₁≠x₂．設函數g（x）=f₁（x）+mf₂（x）-lnf₃（x），（m∈R且m≠0）．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）若m=1，求函數g（x）的單調區間；
（Ⅲ）求函數g（x）在x∈[0，a]的圖象上任一點處的切線斜率k的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據f₂（x）=x²，∴f₂′（x）=2x，可得2[ax₁+（1-a）x₂]=

x22-x12

x2-x1

，化簡即可求實數a的值；
（Ⅱ）求導函數，利用導數的正負，可確定函數的單調區間；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，a=

1

2

，k=g′（x）=2mx-

3

x

+1，k′=2m+

3

x2

；分類討論：①當-6≤m＜0或m＞0時，k′≥0恒成立，最大值為m-5；②當m＜-6時，確定函數的單調性，從而可求最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵f₂（x）=x²，∴f₂′（x）=2x
∴2[ax₁+（1-a）x₂]=

x22-x12

x2-x1

∴（x₁-x₂）（2a-1）=0
∵x₁≠x₂，∴a=

1

2

；
（Ⅱ）∵f1(x)=x，f2(x)=x2，f3(x)=x3
∴g（x）=mx²+x-3lnx（x＞0）
∵m=1，∴g（x）=x²+x-3lnx（x＞0）
∴g′(x)=

(2x+3)(x-1)

x

令g′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1；令g′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1，
∴m=1時，函數g（x）的單調減區間是（0，1），增區間是（1，+∞）；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，a=

1

2

，k=g′（x）=2mx-

3

x

+1，k′=2m+

3

x2

∵x∈[0，

1

2

]，∴

3

x2

∈[12，+∞）
∴①當-6≤m＜0或m＞0時，k′≥0恒成立，∴k=g′（x）在（0，

1

2

]上遞增
∴當x=

1

2

時，k取得最大值，且最大值為m-5；
②當m＜-6時，由k′=0，得x=

- 3 2m

，而0＜

- 3 2m

＜

1

2

若x∈（0，

- 3 2m

），則k′＞0，k單調遞增；
若x∈（

- 3 2m

，

1

2

），則k′＜0，k單調遞減；
故當x=

- 3 2m

時，k取得最大值且最大值為1-2

-6m

綜上，k_max=

m-5，-6≤m＜0或m＞0 1-2 -6m ，m＜-6

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強．