Question

已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)f（x）滿足xf（x）為偶函數(shù)，f（x+2）=-f（x），（x∈R） 且當1≤x≤3時，f（x）=（2-x）³．
（1）求-1≤x≤0時，函數(shù)f（x）的解析式．
（2）求f（2008）、f（2008.5）的值．

Answer 1

分析：（1）先由xf（x）為偶函數(shù)得到f（x）是奇函數(shù)，設-1≤x≤0，則1≤x+2≤2，代入f（x）=-（x+2）²即可求出x∈[-1，0]的解析式；
（2）根據(jù)f（x+2）=-f（x）得到f（x）=-f（x-2），從而f（x+2）=f（x-2）得到周期T=4，即可求出f（2008）、f（2008.5）的值．

解答：解：（1）由xf（x）為偶函數(shù)可知：f（x）是奇函數(shù)．設-1≤x≤0，
則1≤x+2≤2
又f（x+2）=-f（x）可得：f（x）=x³，
（2）f（x+2）=-f（x）⇒f（x）=-f（x-2）
得：f（x+2）=f（x-2）知T=4
得：f（2008）=f（0）=0，f（2008.5）=f（0.5）=-f（-0.5）=

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8

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點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、周期性以及函數(shù)的解析式的求解等有關基礎知識，屬于基礎題．