Question

已知定義在實數集上的函數y=f（x）滿足條件：對任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）的值，
（2）求證：f（x）是奇函數，
（3）舉出一個符合條件的函數y=f（x）．

Answer 1

分析：（1）由題意令x=0、y=0代入f（x+y）=f（x）+f（y），求出f（0）的值；
（2）令y=-x代入f（x+y）=f（x）+f（y），再由（1）和奇函數的定義判斷即可；
（3）根據（1）和（2）進行舉例即可，從最簡單的函數中舉．

解答：解：（1）∵對任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）．
∴令x=0、y=0，有f（0+0）=f（0）+f（0）…（1分）
∴f（0）=0…（2分）
（2）∵對任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）
令y=-x，有f（x-x）=f（x）+f（-x）…（4分）
∴f（0）=f（x）+f（-x）
∴f（-x）=-f（x），x∈R…（5分）
∴函數f（x）是奇函數．…（6分）
（3）符合條件的函數f（x）=2x（答案不止一個只要符合要求都算正確）…（8分）

點評：本題考查了抽象函數的奇偶性的證明以及求值，主要利用賦值法，即根據結論給變量適當的值，代入恒成立的方程化簡即可．