Question

已知定義在實數集上的函數fn(x)=xn，（x∈N^*），其導函數記為f_n′（x），且滿足fn′[ax1+(1-a)x2]  =

f2(x2)-f2(x1)

x2-x1

，其中a，x₁，x₂為常數，x₁≠x₂．設函數g（x）=f₁（x）+mf₂（x）-lnf₃（x），（m∈R且m≠0）．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）若函數g（x）無極值點，其導函數g′（x）有零點，求m的值；
（Ⅲ）求函數g（x）在x∈[0，a]的圖象上任一點處的切線斜率k的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據f₂（x）=x²f₂'（x）=2x，可得2[ax1+(1-a)x2]  =

x22-x12

x2-x1

，化簡可求a=

1

2

；
（Ⅱ）根據f₁（x）=xf₂（x）=x²f₃（x）=x³，可得g（x）=mx²+x-3lnx（x＞0）．利用函數g（x）無極值點，其導函數g′（x）有零點，可得該零點左右g′（x）同號，從而可得二次方程2mx²+x-3=0有相同實根，故可求m的值；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，a=

1

2

，k=g′（x）=2mx-

3

x

+1，k′=2m+

3

x2

，

3

x2

∈[12，+∞)，分類討論：①當-6≤m＜0或m＞0時，k′≥0恒成立，最大值為m-5；②當m＜-6時，由k′=0，得x=

- 3 2m

，而0＜

- 3 2m

＜

1

2

，可得x=

- 3 2m

時，k取得最大值且最大值為1-2

-6m

．

解答：解：（Ⅰ）∵f₂（x）=x²f₂'（x）=2x
∴2[ax1+(1-a)x2]  =

x22-x12

x2-x1

∴（x₁-x₂）（2a-1）=0
∵x₁≠x₂，∴a=

1

2

；
（Ⅱ）∵f₁（x）=xf₂（x）=x²f₃（x）=x³，∴g（x）=mx²+x-3lnx（x＞0）
∴g′（x）=

2mx2+x-3

x

∵函數g（x）無極值點，其導函數g′（x）有零點，
∴該零點左右g′（x）同號，
∵m≠0，∴二次方程2mx²+x-3=0有相同實根
∴△=1+24m=0
∴m=-

1

24

；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，a=

1

2

，k=g′（x）=2mx-

3

x

+1，k′=2m+

3

x2

∵x∈[0，

1

2

]，∴

3

x2

∈[12，+∞)
∴①當-6≤m＜0或m＞0時，k′≥0恒成立，∴k=g′（x）在（0，

1

2

]上遞增
∴當x=

1

2

時，k取得最大值，且最大值為m-5；
②當m＜-6時，由k′=0，得x=

- 3 2m

，而0＜

- 3 2m

＜

1

2

若x∈(0，

- 3 2m

)，則k′＞0，k單調遞增；
若x∈(

- 3 2m

，

1

2

)，則k′＜0，k單調遞減；
故當x=

- 3 2m

時，k取得最大值且最大值為1-2

-6m

．
綜上，k_max=

m-5，(-6≤m＜0或m＞0) 1-2 -6m ，(m＜-6)

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強．